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 conditions 



/ — , AV -~ o pour X = a, —, 1- Hv = o pour x -- />, 



\ d.p * dx '■ 



est une fonction méromorphe de k qui n'admet que des pôles simples 

 A = A^(s =1,2,.. . ). On peut démontrer ensuite le lemme suivant : 

 » Si/ satisfait à la condition 



j /\Jsdx = o, 



le point k = k^ est un point simple de la fonction V. 

 » Cela posé, reprenons la fonction <p(^") et posons 



tC^:') =yA,U,+ R,„, A,= / /?(«;) cp (a;) U.cte. 



» Il esl presque évident que 



/ p{x)'?\.,„\]sdx =^ o (*=i,2,.. ,m), 

 et que 



'■ Il 



est une fonction décroissante de m. 



)) Supposons que /est ég;;d à yo(r)R,„. D'après le lemme précédent, la 



série ^A^V^, présentant l'intégrale de l'équation (3), converge, pourvu 



y =0 



que |^|<,A:,„. En emplovant les intégrales de M. Schwarz, on peut dé- 

 montrer que 



L étant un nombre positif. 



» Si la série VA^U^ converge uniformément, la limite de R,„ (pour m^^zc) 



est une fonction finie et continue, et l'inégalité (2) nous donne 

 limV, = 0, d'où limR„, = 0. 



Par conséquent /a seWe V AjU^ représentera la fonction cpTa?) toutes les fois 



S—l 



quelle convergera uniformément. 



