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» 3. Cherchons les conditions de convergence (le cette série. 

 » On peut démontrer les inégalités suivantes : 



(4) /c„>m(n-i)\ 



(5) |U,|</t,Q, 



M et Q étant des nombres positifs. 



» Je remarquerai seulement que la démonstration de l'inégalité (4) est 

 fondée sur le lemme suivant : 



» Si la fonction «(a?) satisfait à la condition 



/ u{x)dx-= o, 

 la limite inférieure précise du rapport 



J dx 



(6) -"" ^ 



f [u{x)Ydx 



J a 



est égale à jj^ — ^ [comparer le lemme fondamental de M. Poincaré 



(^Conti-rend . del cire, di Pale rmo, 1894)]. On peut démontrer ce lemme en 

 partant d'une identité de M. ?ic-Arà {Traité d' Analyse, t. Kl, VI, §9, p. 116), 

 Je profite aussi de l'occasion pour remarquer que cette identité peut être 

 très utile pour déterminer la limite inférieure jorecwe du rapport (6) sous 

 diverses conditions, imposées sur la fonction u^x). 

 » Supposons que <p(î') satisfait aux conditions 



(7) —j— A(p(j;) = o pour X =^ a, -h l-H(p(a?)=o pour x=o 



. d^f(x) . d^<f(x) . . . „ 



et que T\ et T 3 existent. On a 



dx- dx^ 



-.Il 



X*'^' 



dx 



B. 





» Par conséquent 



M On peut démontrer que la série ^^î^^B^' converge. La série T]^ 



,s = 1 S--1 



