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(R étant rationnelle en a:, y, z) dont aucune combinaison linéaire n'est de 

 la forme 



(■) //(S-f)"-'- 



(P et Q étant rationnelles en x, j et z), et telles que toute autre intégrale 

 de seconde espèce est une combinaison linéaire des intégrales J, à un 

 terme additif près de la forme (i). Le nombre p est l'invariant dont je viens 

 de parler; sans vouloir entrer pour le moment dans le détail du calcul de 

 ce nombie, je voudrais faire voir au moins comment on peut établir son 

 existence. 



» Je montre d'abord que toutes les intégrales de seconde espèce rela- 

 tives à la surfacey peuvent, par la soustraction d'un terme convenable de 

 la forme (i), être ramenées à la forme 



(.) fP^^^^clrdy, 



M désignant un polynôme en x-, y et z. Le problème qui se pose alors est 

 de chercher à réduire autant que possible les intégrales de la forme (2), 

 sans se préoccuper d'ailleurs, dans cette première réduction, de l'espèce 

 de l'intégrale. J'entrerai dans quelques détails sur cette réduction, en sup- 

 posant que la surfacey soit une surface générale de degré m. 



» Désignons par/? le degré du polynôme M; j'envisage l'expression 



U et V étant des polynômes de degré/? -f- i en x, y et :;. Nous allons cher- 

 cher à déterminer ces polynômes de manière que l'expression (3) soit de 

 la forme 



et que, dans le polynôme N de degré p, les termes de degré p soient les 

 mêmes que dans M. Soient M, les termes homogènes de degré/? dans M; 

 nous posons 



U = a;M, + H, V=:rM, + R, 



H et K étant des polynômes de degré />. Nous satisferons aux conditions 

 indiquées si l'expression 



M.(^/>v/;)+n/:.+K/' 



