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 s'annule pour les points de la courbe donnée par les deux équations 



/ = o, fl = o. 



» En appliquant les formules relatives aux conditions imposées à une 

 surface qui doit passer par une courbe, on voit que l'on pourra déterminer 

 H et K de la manière voulue, si le nombre^ satisfait à l'inégalité 



(p-h i)(/?+2)(/?+3) _ {p — m-+-2)(p — m-h^){p — in + [i) 

 3 6 



-^ / , \ r \ ')t{m — \.){m — 3 ) 

 >(/> -f- w — \)m{tn — \) ^ ^^ '-. 



Or, il se trouve que cette inégalité est très facile à résoudre; elle est vé- 

 rifiée pour/» = 2 7?z — 3 et les nombres supérieurs, et elle ne l'est pas pour 

 p = am — 4- E)6 là se tire une conséquence importante : Toutes les inté- 

 grales de la /orme (2) peuvent, par la soustraction d'une intégrale convenable 

 de la forme (i), être ramenées à une intégrale 



<« // 



A(x, r, z) d.v dv 



où A est un polynôme de degré au plus égal à 2m — 4- 



» Je n'insiste pas sur la réduction ultérieure qui reste encore à faire 

 sur les expressions (4), et il faut en plus écrire, dans notre problème, 

 que l'intégrale est de seconde espèce. Tout cela ne présente pas de diffi- 

 cultés, au moins dans le cas général, mais cependant dans certains cas par- 

 ticuliers la discussion peut être assez délicate. Le seul point qui nous 

 intéresse ici est la démonstration de ce fait que le nombre des intégrales 

 distinctes de seconde espèce est limité ; c'est ce qui résulte immédiatement de 

 l'analyse qui vient d'être développée. 



» 2. Je profite de l'occasion pour compléter l'étude de la réduction 

 élémentaire des intégrales abéliennes relative à une courbe algébrique, 

 sous la forme que je lui ai donnée dans mon Traité d'Analyse (t. I, p. 5o-65), 

 et ma Théorie des fonctions algébriques de deux variables (p. 1)9). Soit 



/(.r, 7) = o 



l'équation d'une courbe algébrique, n'ayant comme points singuliers que 

 des points doubles, de degré m et de genre p. Par des soustractions de 

 fonctions rationnelles de x et y on ramène facilement toutes les intégrales 



