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 où (]„ est un entier positif et P„(') "" polynôme. Toute fonction F(-) méro- 

 jnorphe dans D est le quotient de deux développements (2). 



» Théorème III. — Toute fonction analytique F (s), uniforme dans D et 

 ny possédant que des points singuliers isolés, est représentable par une série 



In désignant une série entière en ^j— — et P„(-) un polynôme. 



)) Le théorème I peut recevoir une forme plus générale. Soit Y ( z) une 

 fonction (ou une expression) analytique, uniforme et Iiolomorphe pour 

 toute valeur de s, sauf pour des valeurs exceptionnelles formant, dans le 

 plan des :;, un ensemble quelconque E. 



» Supposons que cet ensemble E soit parfaitement continu : j'entends 

 par là qu'entre deux points quelconques z,, z^ de E, il existe un ensemble 

 parfait et bien enchaîné de points z appartenant à E. Soit enfin a un 

 point arbitrairement choisi de E. 



» La fonction F (;) est développable dans tout le domaine D en une série de 



polynômes en ^ _ (D désigne l'ensemble des points du plan distincts du 



point E). Si, notamment, le point z = vd fait partie de E, F(:;) est dévelop- 

 pable dans D en une série de polynômes 2 P„(s). 



» Par exemple, si F (^) admet comme coupure (essentielle ou artificielle) 

 une droite L du plan, F est développable en une série ll',^(z) qui con- 

 verge dans tout le plan, sauf sur L. 



» Les théorèmes II et III comportent une généralisation analogue. 



» Si l'ensemble E se décompose en un nombre fini q d'ensembles conti- 

 nus E, , . . ., Ey (ensembles qui peuvent se réduire à lin seul point), choisis- 

 sons arbitrairement un pointa,, . . ., k^ de chaque ensemble E,, . . ., E^. Toute 

 fonction F (a) holomorphe dans D, se laisse mettre sous la forme 



les P„(w) désignant des polynômes en u. 



» Théorème général. — Admettons enfin que l'ensemble E soit quel- 

 conque. Si cet ensemble renferme des ensembles continus, remplaçons 

 chacun de ces ensembles par un de ses points arbitrairement choisi : soit 

 C l'ensemble ainsi obtenu, ensemble qui est contenu dans E et qui peut 



