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renfermer des ensembles par faits, mais non plus continus . La fonction F(:) 

 est représenlahle dans tout le domaine D par une série 



oii P„ désigne un polynôme, q„ un entier positif, a,, et Z»,, deux points de C. 



» Dans une Note antérieure, j'ai indiqué un autre mode de développe- 

 ment de F(z), soit F(-) = 1^„(z), où les fractions rationnelles p„(z) ont 

 pour pôles des points quelconques de E, ces pôles et leurs points limites dé- 

 finissant TOUTES les singularités de F. Ici les pôles a„, h^ des R„ et leurs 

 points limites définissent seulement l'ensemble f . Si donc E renferme des 

 ensembles continus, la fonction F(:;) présente des singularités en dehors 

 des pôles a,„ b„ des R„ et de leurs points limites. 



» Cas où te domaine D est convexe. — Plaçons-nous dans le cas où la fonc- 

 tion F(:;) est liolomorphe à l'intérieur d'un domaine convexe D : j'entends 

 par là que les points de D situés sur une même droite forment un segment 

 unique. Soient z^ un point de D, et F„, F,',, F^, ... les valeurs en ce point 

 de F et de ses dérivées successives. On peut alors former explicitement un 

 développement (r) où les P„ sont composés linéairement avec F,,, F^, .... 

 FJ," . D'une façon précise connaissant D et z^, on sait calculer une suite de 

 polynômes 



(5) n„,„(^), n„,,(::), .... n„,„(i;) (a^.-z 1,2,3. ...). 



telle que toute fonction F(^), holomorphe dansÇD), soit développable dans(D) 

 sous la forme 



(6) F(z) = ^[F,n,,,{z)+F:n„,(z)+...+ r:'Q„,,fz)]^y^V,fz). 

 1 = 1 



» De même, on peut mettre F sous la forme (2), oîi les P„ sont com- 

 posés à l'aide des valeurs Fo. F^, . . ., exactement comme dans le cas où F 

 est holomorphe dans tout le plan. 



» Il existe, d'ailleurs, une infinité de suites telles que (5). Mais 

 astreignons D à la condition supplémentaire d'être limité par une courbe 

 qui admette en chaque point une tangente continue (sauf en un nombre 

 fini de points anguleux) et une courbure finie. Parmi les suites (5), il en 

 existe alors une plus simple que toutes les autres, parfaitement déterminée 

 quand on se donne D et ^„ : soit S cette suite. Inversement, toute suite 

 de la nature S définit un domaine convexe D et un point z^ tels que toute 



