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fonctions entières provient de l'infinie multiplicité des types de croissance 

 possibles : les raisonnements applicables à tous ces types sont à la fois 

 ardus et difficiles à étendre ('). D'ailleurs, ces difficultés ne se présentent 

 pas seulement lorsqu'on considère des fonctions qui croissent extrêmement 

 vite; à cause d'un princijje analogue à celui de V homogénéité du continu. 

 il y a exactement les mêmes difficultés à faire une étude complète des fonc- 

 tions qui croissent plus vite que e^ et moins vite que e-", par exemple, 

 qu'à faire l'étude de toutes les fonctions croissantes. Aussi, en nous bor- 

 nant, dans ce qui suit, aux fonctions entières de genre fini, nous ne restrei- 

 gnons pas la généralité autant qu'on ]jOuirait le croire. D'ailleurs, on verra 

 aisément que plusieurs des remarques qui suivent s'étendent sans peine 



au cas gênerai 



» On peut associer à toute fonction entière une fonction positive crois- 

 sante M(/'), égale au maximum du module de la fonction entière pour 

 I = I = r. L'hypothèse que la fonction est de genre fini s'exprime par le fait 

 qu'il existe un nombre positif p' tel que l'on ait, à partir d'une certaine va- 

 leur de /■, M (r) •< e' . Il y a évidemment alors une infinité de tels nombres p'; 

 si p désigne leur limite inférieure (qui n'est pas nécessairement atteinte), 

 on dit que la fonction est d'ordre apparent p. Si, d'autre part, on désigne 

 paiv/„ le module du «"'"''zéro de la fonction, la limite inférieure p des 

 nombres p', tels que la série la~^"' soit convergente, est dite l'orû^re réel de la 

 fonction. Le théorème fondamental qui, pour les fonctions de genre fini, 

 résume les recherches citées plus haut, est le suivant : sauf le cas d'excep- 

 tion unique de M. Picard, l'ordre réel est égal à l'ordre apparent. D'ailleurs, 

 ce cas d'exception ne peut se présenter que si l'ordre apparent p est un 

 nombre entier. Nous nous proposons de préciser, dans certains cas, ce ré- 

 sultat, ou, plus exactement, de préciser les conséquences que l'on peut en 

 tirer relativement à la croissance des a„; nous poserons a„= 0(/O- 



» Nous dirons qu'une fonction croissante ©(z") appartient au type expo- 

 nentiel s'il existe un nombre positif p, tel que, quel que soit le nombre po- 

 sitif s, les inégalités e'^ <^ (p(/)<^ e"^' soient vérifiées à partir d'une certaine 

 valeur de /•; de plus, s'il en est ainsi, nous conviendrons de tlire aussi que 

 logcp(r) et e'"''' appartiennent au type exponentiel. 



» Avec ces définitions, la première proposition que nous avons à énoncer 

 est la suivante : Si la fonction iM(^) appartient au type exponentiel, il en est 



(^'j J"ai donné un c\ciii]ili; d'un toi lulsonnemenl dans ma -Note du ii mai i8y6. 



