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de même de la fonction 6(/?), et réciproquement (à moins que Ton ne se 



trouve clans le cas de M. Picard). On voit que cette proposition permet de 



préciser beaucoup les résultats obtenus sur les rt„; en effet, si l'on connaît 



seulement V ordre apparent p, sans rien savoir dn type de croissance de 0(/?), 



les circonstances les plus diverses peuvent se présenter; car une série 



peut être convergente, tout en ayant une infinité de termes supérieurs aux 



termes correspondants d'une série divergente. Au contraire, si, l'ordre a|)- 



parent étant p, on sait de plus que la fonction 0(n) appartient au t}'pe ex- 



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ponentiel, on peut affirmer que les inégalités n^ <! «« <C «^ sont vérifiées à 



partir d'une certaine valeur de n. 



» Pour obtenir, dans chaque cas, un résultat aussi précis que celui-là, il 

 faudrait étudier d'autres types de croissance; mais cette étude longue et 

 peut-être indéfinie ne semble pas nécessaire si l'on remarque que toutes 

 les fonctions croissantes qui s'introduisent naturellement en Analyse appartien- 

 nent au type exponentiel ou à des types s'y rattachant directement. Cette re- 

 marque me paraît d'ailleurs avoir de l'importance dans bien des questions. 



» Parmi les types de croissance que l'on peut fabriquer, si je puis ainsi 

 dire, mais qui ne s'offrent pas naturellement, les types lacunaires sont parmi 

 les plus curieux. Pour faire comprendre ce que j'enten Is par là, je vais 

 donner un exemple d'un type lacunaire qui se rattache indirectement à la 

 fonction exponentielle. Dans le développement en série de e^, ne conser- 

 vons que les termes dont le rang est n", nétantun entier; nous obtiendrons 

 une fonction croissante (^{x) qui, pour une infinité de valeurs de x, diffé- 

 rera extrêmement peu de e^ (leur rapport sera de l'ordre de grandeur 

 de \'x) mais qui, en général, sera beaucoup plus petite que e^. Si l'on sup- 

 pose X imaginaire, la fonction entière ?(.r) offre la propriété curieuse de 

 différer extrêmement peu de certains polvnomes dans des couronnes cir- 

 culaires dont l'étendue est très considérable ('). Cette propriété permet 

 d'étudier avec la plus grande facilité la distribution des zéros d'une telle 

 fonction; de plus, on voit que, dans ces couronnes, pour toutes les valeurs 

 de X qui ont même modide, la fonction a sensiblement le même module, 

 c'est-à-dire que le module de la fonction diffère très peu de sou maximum. 



» Enfin, pour ces fonctions et, d'une manière générale, /)Of/r toutes celles 



(') Pour préciser, si l'on considère un cercle de centre fixe et de raj-on croissant, le 

 rapport des aires des couronnes intérieures au cercle, à l'aire du cercle, tend vers un 

 lorsque le rayon augmente indéfiniment. 



