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soient :; la variable complexe et x une valeur réelle quelconque de z, com- 

 prise entre a et Z». On peuf, de œ comme centre, décrire un cercle y de rayon 

 p(a-) assez petit pour que la fonction F(z) soit liolomorphe à l'intérieur et 

 sur la circonférence de y; | Fj reste alors inférieur dans y à une certaine 



quantité positive M (a*). Observons que p(j^) et j-r- — r peuvent tendre 



vers zéro quand x tend Aers a ou b. Le théorème que je démontre s'énonce 

 ainsi : 



» Théorème. — Connaissant a, h, t„ {a <^ ,r„ <^ h) et les quantités p (x), 

 M (.t) (pour X compris entre a et h), on peut calculer une suite de polynômes 



Ki^)' n;;'(^) ";:"(>) (« = 1,2,3,..,) 



tels que la série 



(0 i; [F„n,»(x) + F„n;(^) + ... +F:"n;;"(a-)jE^2 ^""^^") 



n— I 



converge absolument et uniformément vers F (a;) entre a et b, et soit dérivahle 

 terme à terme indéfiniment : F(-) désigne une fonction quelconque, liolo- 

 morphe et de module inférieur à M(a") dans chaque cercle y de centre ar 

 et de rayon p («■). 



» De plus, étant donné un segment quelconque aS^ entre a et b, et une 



quantité positive £ aussi petite qu'on veut, on sait connaissant p {x) et .. 



former explicitement une quantité v (a, [ï, £ ), telle que, pour n ^ v, on ail 



|R„(a-)|<E. (sia<a;<[i), 



R„ désignant le reste de la série (i). 



« Pour démontrer le théorème énoncé, je m'appuie sur un lemme, cas 

 particulier d'un théorème déjà établi dans ma Thèse : 



» Lemme. — Si la fonction F(3) est holomorphe dans l'aire D d'une 

 ellipse E, et si z„ est un point de Y), F (c) est développable dans D en une série 

 de polynômes ( ' ) 



(o_) F(.) = 2 '^'«)=^E [F«n„,„(=) + f;,ii,,,(.-) + ... + F;:"n„.„(=)|, ' 



où les ïl„j (s) sont les polynômes connus. 



(') Jiiislste sur )e caractère essentiel du développement (2). Les polynômes de 

 Legendre, comme il est bien connu, fournissent un moyen de développer I' (c) dans R 



