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» Soit maintenant E^ une ellipse dont le grand axe est un segment 

 a,^P,^ de l'axe réel compris entre a et b, ellipse assez aplatie pour que V (z) 

 soit holomorphe dans Ey et sur E^. En considérant une suite d'elli|)ses 

 Ej, E^, . . .E,^, . . ., telles que attende vers aet^^ vers i quand l'entier «7 croît 

 indéfiniment, on parvient aisément au théorème énoncé ('). 



M En particulier, si F(x) est holomorphe pour toutes les valeurs réelles 

 de X, elle est dch'eloppable en unesérie (i) tout le longde l'axe Ox. Observons 

 quç si E(-) Pst holomorphe (hins une bande B comprise entre deux |iaral- 

 lèles à l'axe Ox, M. Poincarc a indiqué des modes de développements de 



F(=) convergeant sur Ox et n'exigeant que la connaissance de F„, F,, 



Mais F(::) peut être holomorphe pour z réel, sans être holomorphe dans 

 une bande B, si mince qu'elle soit. 



» Des développements tels que (f) sont utiles dans la théorie des équa- 

 tions différentielles. Pour le faire comprendre sur im exemple très simple 

 proposons-nous d'étudier {pour x réel) les fonctions y {x) définies par 

 l'équation différentielle 



(3) ^=/(-'.>')' 



où/^est une fonction analytique de x, y, holomorphe et réelle pour .r, y 



réels, et telle que - reste inférieur à une quantité fixe [j.. On montre que 



toute intégrale y (ot) de (3) est holomorphe pour j; réel, et si l'on se donne 

 pour X = Xii la valeur j' ^^Vo dejK, on sait calculer explicitement les quan- 

 tités appelées plus haut ^(x) et M(x), et par suite effectuer le développe- 

 ment (i) à l'aide de simples différentiations. 



» Fonctions de m variables. — Les propositions précédentes s'étendent 

 aux fonctions de m variables : soit F(jr,, . . . ,x,„) une fonction analytique, 



en série de polynômes. En 187g, M. Picard a indiqué pour l'aire d'une ellipse un 

 autre mode de développement très élégant en série de polynômes. Mais ces deux 

 développements exigent qu'on connaisse les valeurs de F (z) (ou au moins de sa partie 

 réelle) sur la périphérie de l'ellipse. Le développement (2) suppose, au contraire, 



qu'on connaît, pour z ^ Zq, les valeurs F„, F[ 



(') On peut substituer aux aires elliptiques d'autres aires convexes, par exemple 

 substituer à E^ l'aire A^ intérieure à deux cercles de grand rayon. La remarque faite 

 plus haut sur le développement (2) s'applique à l'aire A^ : toute fonction F (z) holo- 

 morphe dans A,^ est évidemment, d'après un théorème de M. Appell, dévelopjjable en 

 série de polynômes dans A^, mais le développement de M. Appell exige qu'on con- 

 naisse les valeurs de F (0) sur le contour de A,,. 



