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 fonctions de g, il faut et il siifât que les trois équations 



{ l\ tr ~ _-L_ o— or ~ *> P 



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soient satisfaites ; F, /, /, désignent des fonctions de g. En dérivant l'équa- 

 tion (i) on obtient deux équations entre les dérivées secondes de g, qui, 

 pour être compatibles avec les équations (2) et (3), exigent qu'on ait 



!) Celte équation détermine g[^, et g est une fonction de pu -+- qv (p et q 

 constants) à moins que 



2F =/. g= ^/g\ F' =/, g + 2/5- ; 



alors 



» Les équations (i). (2), (3), (4) admettent deux systèmes de solu- 

 tions ; 



. n / o o «" cos- 1 m u -+- p) 



J ' ./ I ' o „j2 COS-(«(' + 17) ' 



/ — O, J,— — n-, S' — — cos-2 (nr + q)' 



m, n, p, q étant des constantes. 



» Pour que les lignes u, c soient lignes de courbure, auquel cas la sur- 

 face est isothermique, il faut que les équations suivantes soient compa- 

 tibles î 



Kg iib ' A X' 



A' /''^'\' 



X\fo = m-'g + :tm-g- -^ + g{n^ H- 7t7^g-) (^-^j r= L. 



» On voit d'abord, en tenant compte de l'équation (4), que An, ifl) sont 

 fonctions de g; par suite, les rayons de courbure sont fonctions l'un de 

 l'autre. On a ensuite 



-r, / A'\ „ A' , 



A«v » a;"-" va; ^ "• \A„. 



'o .' 



A' 

 d'où une équation du troisième ordre en ^• 



C. R., 1898, I" Semestre. (T. GXXVI, N" 5.) 31 



