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 » Pour que A-(c/ir + dç-) soit le carré de l'élément linéaire d'une sur- 

 face de révolution, la courbure de la surface étant fonction de A, il faut 

 que A soit une fonction âepu -f- qv, p cl q étant des constantes. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la décomposUion des fondions Q en facteurs. 

 Note de M. G. Humbert, présentée par M. Poincaré. 



« k^T^c\on?, fonction thêta d'ordre m une fonction entière de deux va- 

 riables qui vérifie les relations 



0(«+ r, (^) = 0(h, (' -f- i) = 0(h, v), 

 e{u -;- a. i' -!- b) = e--'"'^'"^"' 9,{u, v), 

 Q{u -\-h,V'T- c) = e-=""='"+P'0(//, v), 



a' et P' étant des constantes. Il est clair que le produit de deux fonctions 

 d'ordres m et n est une fonction d'ordre m -h n : inversement, si une 

 fonction se décompose en deux facteurs entiers, ces facteurs sont-ils 

 nécessairement des fonctions thêta, à des facteurs exponentiels près? 



» La question doit être résolue par l'affirmative si les périodes a, b, c 

 sont choisies au hasard ; une exception ne peut se présenter que si les pé- 

 riodes sont liées par une relation de la forme 



(i) ka -r- B/> ^- Ce + D(ac - b-) -;- E = o, 



A, B, C, D, E étant des entiers. 



» Supposons qu'il existe une pareille relation; on établit que, si la 

 quantité 



A = B-— 4AC - 4DE 



est un carré parfait, A — n-, les fonctions thêta considérées se réduisent 

 aux fonctions thêta elliptiques. 



» Pour étudier plus commodément le cas général, on ramène, par une 

 transformation du premier ordre, l'équation (i) à une forme plus simple. 



» On établit d'abord que l'on peut faire disparaître les coefficients D et E ; 

 il reste 



(2) A<-?. + B/> 4- Ce z= o. 



» On peut remplacer cette équation par une équation de même forme 



k'u -i-B'è -r-C'c^o, 



