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A', B', C étant tels que la forme A'.x-' — B'xy -1- C'y- soit équivalente à la 

 forme Ax'- — Bxy -+■ Cy^. Enfin, on peut faire en sorte que A divise C. En 

 appliquant successivement ces transformations, on arrive à mettre l'équa- 

 tion (2) sous la forme simple 



(3) a -^pb + ■■€ = o, 



P étant égal à o ou i , selon que A est de la forme ^ih ou ^h -i- 1; on a, de 

 plus, 



la quantité A est un invariant pour toutes les transformations du premier 

 ordre. 



» Cela posé, désignons les périodes, afin de simplifier les écritures, par 



( 2.7:1 o a b, 



I o 2-/ i a, 



la relation (3) ayant lieu entre a, b, c. On démontre qu'il existe des fonc- 

 tions entières, !p(w, v), qui ne sont pas le produit d'une exponentielle par 

 une fonction thêta aux périodes (4), vérifiant les relntions 



I ©(« + 2.T.i, f) = (p(w, ',' -f- 27:1) = cp(w,<^), 

 (5) 9(;/ --;- a, v ■+- b) = e'"^'''''' o{ii, i>), 



{ <f(ii -^ b, r + c) = e-""+i'-^PJ'' cp(«, (> ), 



/et X; étant deux entiers quelconques. Toutefois certaines inégalités doivent 

 être satisfaites. 



» D'abord, pour qu'il existe des fonctions thêta aux périodes (4), il 

 faut et il suffit que a'c' — è'^^ o, en appelant a', b', c' les parties réelles 

 de a, b, c; on en conclut, en tenant compte de (3), 



c'est-à-dire A ^ o. 



» Supposons a' (et par suite c') positif; on démontre que les fonctions 

 définies par (5) ne peuvent exister que si 



/- — pX:/ T- yX."" ^ o. 



De plus, si k ^ o, il faut que 



2/— [3X:>/C-v'Â; 

 si k <C o, il faut que 



2/ — !i/C-> — k\/A. 



