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>) Enfin, le cas de X: ^ o donne, d'après (5), des fonctions ordinaires, 

 et />o. 



)i Les fonctions cp, définies par (5), sont des fonctions linéaires et 

 homogènes de (/'— pA7+ y/i;-) d'entre elles; deux fonctions cp et ç', corres- 

 pondant aux entiers / et k, l et k' , ont un nombre de zéros communs 

 égal à 



2ll' -<^{kl' + k'l) +yM'. 



» Tous ces résultats s'interprètent géométriquement sur les surfaces 

 hyperelliptiques ou sur la surface de Rummer : ces surfaces, lorsqu'on 

 suppose vérifiée la relation (3), admettent des courbes algébriques qui 

 n'existent pas dans le cas général. 



» La forme /- — ^kl+ yk^ peut être égale à + i pour d'autres systèmes 

 de valeurs que k = o, l— i : soit /,, k, un de ces systèmes; la transfor- 

 mation 



U ^ /, « -r 'Myt', 



Y = — k,u-h(l, — k,[6y' 



fait correspondre à un point (u, c) de la surface de Kummer un, et un seul, 

 point (U,V) delà même surface, et réciproquement : de là des transfor- 

 mations birationnelles de la surface en elle-même, qui n'ont pas lieu dans 

 le cas général. L'étude de ces transformations revient ainsi à la résolution 

 en nombres entiers de l'équation 



(6) /2_ j3X-/_,_y^2^ I^ 



qui se ramène immédiatement à l'équation de Peli; elle a donc une infinité 

 de solutions. 



» L'étude des courbes unicursales particulières qu'on peut tracer sur 

 les surfaces de Kummer dérivées de périodes vérifiant (3) permet de 

 former la lelation correspondante entre les modules des intégrales hyper- 

 elliptiques correspondantes. 



« C'est ainsi que, dans le cas le plus simple (non elliptique), celui 

 de A = 5, ou trouve qu'il existe sur la surface une cubique gauche passant 

 par six points doubles connus, et réciproquement. En exprimant cette 

 condition, on trouve que le radical \Jx(^i — ^')(i — 'kx){i — }j.x){\ — vx) 

 conduit à des périodes vérifiant la relation 



a -h 6 — c — o (A = j), 



si l'on a 



v/([^. ->^)(). — v)([;.— i)-h v'p(A- i)(v- ,; + Xv/(,x- i)(v - ij: 



