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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le développement des fonctions réelles non 

 analytiques. Note de M. P. Painlevê, présentée par M. Picard. 



« Quand une fonction /(r) est continue dans un intervalle ah, elle est 

 développable dans cet intervalle en une série de polynômes i P„(.r), et 

 un théorème analogue s'applique aux fonctions continues de plusieurs 

 variables. Ces développements ont été introduits par Weierstrass. Je vou- 

 drais en indiquer ici quelques propriétés que je crois nouvelles. 



» J'insisterai d'abord sur les fonctions/(a7), ou /(a?,, ..., x,„), qui sont 

 continues dans un certain domaine et admettent des dérivées partielles de 

 tous les ordres. Dans le cas de m -= i (qui comprend celui de m = i), 

 M. Borel a établi ce théorème : 



» Si dans le domaine 



(D) o5£C<r, o<jSi 



la fonction f(x,y) est continue et admet des dérivées de tous les ordres, elle 

 est développable dans ce domaine en une série 



(i) f{^^y) = 2n„(a;,7, sina?, cosa?, sinj, cosj), 



où n„ est un polynôme en x, .. ., cos j, série qui converge uniformément 



dans D ainsi que toutes les séries ^-f^' 2"T^'' ^"^r^' • ' J "^^^ dernières 



séries représentent donc (dans D)fx,f'y,f"x'', .... 



» Je dirai dans ce qui suit qu'une série telle que (i) est dérivable terme 

 à terme indéfiniment. 



» La démonstration de M. Borel est très compliquée, et de plus elle ne 

 saurait s'étendre sans de nouveaux efforts aux fonctions de m variables 

 (ml 2). Par un procédé extrêmement simple, j'établis cette proposition 

 plus générale (' ), que j'énonce en me limitant à trois variables : 



» Théorème. — SoitfÇx,y,z) une fonction des variables réelles x, y, z, 

 qui, en chaque point (x, y, z) d'un certain domaine A (à trois dimensions) de 



(') Si ma démonstration est beaucoup plus simple et générale que celle de 

 M. Borel, en revanche la démonstration de M. Borel va bien plus à fond sur un point 

 très important. M. Borel montre, en eftet, qu'on peut assujettir les coefficients des ri„ à 

 des inégalités telles : 1° que la série (i) soit dérivable indéfiniment terme à terme (dès 

 que ces inégalités sont vérifiées), et 2° que toute fonction /(a:, y) se laisse mettre 

 sous la forme (i), où les inégalités en question sont vérifiées. 



