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 l'espace Oxyz, est continue el admet des dérivées partielles continues détails 

 les ordres : la fonction /(x, y, z) est développable en une série de polynômes 



(2) f{x,y,z)=.l.V,Xoc,y,z), . 



série qui converge uniformément dans tout domaine A, intérieur à A, et est dé- 

 rivable terme à terme indéfiniment. 



M Pour donner à ce théorème loiite sa portée, j'introduis une définition : 

 je conviens de dire que la fonction fix,y, z) est régulière au point {x^,y^,Za), 

 si, à l'intérieur d'une sphère de centre (cCo^yc ^0) et de rayon suffisam- 

 ment petit, la fonction f(x,y, z) et toutes ses dérivées partielles succes- 

 sives sont continues. Je représente par D l'ensemble de tous les points de 

 l'espace Oxyz où la fonction f{x, y, z) est régulière, par E l'ensemble de 

 tous les points où elle est irrégidière. L'ensemble E peut être entièrement 

 quelconque, à cela près que, par :a définition même, il renferme tous ses 

 points limites [E = E']; il peut contenir des domaines continus à 3, 1 ou 

 I dimensions, des ensembles parfaits discontinus, des points isolés. I/en- 

 semble D peut être formé de plusieurs (ou d'une infinité) de domaines 

 continus distincts, tous à 3 dimensions, limités par des surfaces à connexion 

 quelconque, renfermant des surfaces, lignés, points irréguliers, etc. 



» Ceci posé, le théorème énoncé s' applicpie au domaine D. 



» Considérons, en particulier, une fonction analytique 



f{z) = o{x,y) -\-i^{x,y) 



uniforme el holomorphe dans le domaine D, l'ensemble E étant quelconque. 



La fonction fi^z) est développable dans le domaine D en une série de la forme 



(3) f{z) = l[?,fx,y) + iq,{x,y)], 



où les P„, Q„ sont des polynômes réels en x,y, série qui converge unifor- 

 mément et est dérivable ternie à terme indéfiniment à l'intérieur de D : 

 ainsi 



A=:>=E['^(-^.r) + .-t'(-r)]=2(--'f=-t)-- 



» Par exemple, si/(::)est holomorphe dans tout le plan complexe, 

 sauf en un ensemble /7a//aii discontinu de points essentiels, /(g) peut se 

 mettre sous la forme (3); niais les expressions P„ (^,7) + iQ«(^,7) ne 

 sont pas (et ne sauraient être) fonctions analytiques de = (c'est-à-dire ici 

 des polynômes en s) ( ' ). 



(') Je saisis celle occasion pour réparer une omission involontaire : les résultats 



