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» Soit de même/(^, w) une fonction analytique uniforme des deux va- 

 riables complexes s = a^ + iy, «■ = m + w, et soit D l'ensemble des points 

 (a-, 7, u, {>) de l'espace Occyin', où/ estholomorphe; la fonction/(:;, (v) est 

 développable, dans D, en une sér\el[P„(x, y, u, v)-\- iQn(x,y,u, v)], où 

 les P„, Q„ sont des polynômes réels, série qui jouit des propriétés énoncées 

 plus haut, relatives à la convergence, la dérivation, etc. 



» Considérons maintenant une fonction /(x, y, s) continue dans un 

 certain domaine et admettant des dérivées partielles continues jusqu'à 

 l'ordre p inclusivement (p pouvant être nul) : j'appelle point régulier 

 (.X-, j, :;) de / tout point qui répond aux conditions énoncées plus haut, 

 dans lesquelles (au lieu d'introduire toutes les dérivées) on n'introduit 

 que les dérivées d'ordre i, 2, . . ., /j. Dans le domaine D où /est régulière, 

 elle est représentable par une série (2) dérivable terme à terme jusqu'à 

 l'ordre/?. 



» On peut compléter ce qui précède par des remarques curieuses dont 

 je cite les plus simples. Soit/(a;) une fonction de x continue entre a et b, 

 sauf pour un ensemble énumérable de valeurs a?, de x, ensemble qui n'est 

 condensé nulle part. Celte fonction est développable en une série de 

 polynômes 5;P„(a;) qui i" converge uniformément vers /(a;) dans tout 

 intervalle compris entre a et ft et ne renfermant pas de points x^, et 

 2° pour les valeurs x = x^ converge vers des valeurs / choisies arbitrai- 

 rement (qui peuvent être l'infini). 



)) Soit encore F(ic) une fonction définie pour une suite énumérable de 

 valeurs de x (par exemple, pour les valeurs commensurables de x com- 

 prises entre a el h); cette fonction (continue ou non) peut être représentée 

 (pour ces valeurs de x) par une série de polynômes. Si, par exemple, F est 



le dénominateur de chaque nombre rationnel a; = -. (irréductible), cette 



quantité ^ {oc) (') est développable en série lV„(x) qui converge pour 

 toutes les valeurs commensurables de x. » 



que j'ai indiqués dans deux. Notes des 17 et 24 janvier coïncident en partie avec des 

 théorèmes démontrés par M. Range dans un Mémoire Sur les Fonctions analytiques 

 uni/ormes {Acta niathematica, t. VI). M. Runge a établi notamment qu'une fonc- 

 tion uniforme dans son domaine d'existence y est représentable par une série de 

 fractions rationnelles. 



(') F(a?) est une fonction discontinue de la variable rationnelle x^-.: pour des 



valeurs a;=-.> j:i=:-t aussi voisines qu'on veut, la difTérence F(jr, ) ^ F(.i;) peut 



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dépasser toute limite. 



C. R., 1898, 1" Semestre. ^T. CXWI, N" 6) 6° 



