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 cette intégrale par approximations successives, on a, en partant de jo = o, 



tous les j' s'annulant pour a; = « et pour x ^b. On voit immédiatement 

 que les y à indices impairs forment une suite croissante, et que les y à 

 indices pairs forment une suite décroissante; d'antre part, tout terme de 

 la première suite est inférieur à un terme quelconque de la seconde. Les 

 y à indices impairs auront donc une limite u, et il en sera de même des j à 

 indices pairs qui auront une limite c. Il peut très bien arriver que ces limites 

 soient différentes ( ' ). J'ai ajouté que, si les y d'indices pairs et les y d'indices 

 impairs tendent unifonnément dans l'intervalle (a, h^ vers leurs limites c et u, 

 celles-ci sont des fonctions de x satisfaisant aux deux équations simul- 

 tanées 



et s'annulent toutes deux pour x^^ a et pour x = b. On a donc ici des 

 approximations successives divergentes qui conduisent à d'autres fonctions 

 que l'intégrale cherchée de l'équation (i). 



» Je me propose de montrer que l'hypothèse soulignée plus haut sur la 

 convergence uniforme est bien effectivement réalisée, ce qui complétera le 

 résultat précédent. Prenons à cet effet l'équation très simple 



o\\f(^x) désigne une fonction continue de x et positive dans l'intervalle 

 (a, b), et considérons l'intégrale j de cette équation s'annulant pour x = a 

 el X =^ b. Au lieu de lui donner la forme élémentaire classique, écrivons-la 

 avec M. Burkhardt (^wZ/e/m de la Société tnathémalique, 1894), sous la 



(') J'en ai donné un exemple {Comptes rendus, avril 1894) et Traité d'Analyse, 



t. m, p. 147. 



