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GÉOMÉTRIE. — Sur les fonctions ahéliennes singulières. Note 

 de M. G. HcMBERT, présentée par M. Jordan. 



« y appeWe fonctions ahé/iennes singulières les fonctions quadruplement 

 périodiques de deux variables dont les périodes 



I () a h 

 o 1 h c 



sont liées par une relation de la forme 



(i) Aa + R/> + Ce -1- DC^^'- - ac) -4- E = o, 



à coefficients entiers. J'ai énoncé, dans une Note précédente, cette pro- 

 position fondamentale que la quantité (toujours positive) 



A = Pr-4AC-4DE 



est un invariant pour toutes les transformations du premier ordre, et aussi 

 que si A est un carré parfait, A = n-, la courbe de genre deux liée aux 

 fonctions considérées a deux intégrales de j)reniière espèce réductibles 

 aux intégrales elliptiques : je complète ce dernier résultat en ajoutant que 

 n est l'ordre de la transformation correspondante. 



» Le déterminant A étant positif et égal à 4^ ou à 4/* + i. ses valeurs les 

 plus simples sont i, 4. 5, 8 et 9; le cas de A = i correspond à des fonc- 

 tions abéliennes dégénérées; A == 4 et A = 9 donnent deux cas elliptiques 

 bien connus, dont le premier répond à la surface de Kuramer dite tctraé- 

 droïde. Voici comment on peut former l'équation aux modules relative aux 

 deux autres cas. 



» Soit d'abord A = 5. En faisant usage de résultats énoncés dans ma 

 dernière Note, j'établis que la surface de Kummer correspondante admet 

 une cubique gauche, passant par six points doubles, r/,, . . ., (/„. 



M Soient P,, Pj, ..., P^ les traces sur un plan P quelconque des six 

 plans singuliers de la surface qui passent par f/, : en projetant la cubique 

 sur P, à partir de ce point, on obtient une conique, tangente à la droite P^ 

 et circonscrite au pentagone PiPoPsP^Ps. Si l'on transforme ce résultat 



