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racine r m"^"'^ de ir, la quantité u; 



logarithme /de a- dans le système de base ii la quantité m. 



» Or, on a le théorème d'addition 



a.[y., (-+-,)] =<ï>(a., =; n): 



on en tire des théorèmes de multiplication, de division de l'argument; 

 et l'on arrive aux propositions suivantes. 



» <ï>(a, 7?iz) est la puissance^ TW'^™" de (i>(x. :■); 



» <Ii(a., ^ j est la racine r m'"'""'- de <!>(«, z); c'est la signification de l'in- 

 dice d'itération fractionnaire. 



» Le logarithme L d'un produit M est la somme des logarithmes L des 

 deux termes; théorème duquel on tire des propriétés dont celles du loga- 

 rithme ordinaire sont des cas particuliers ; on arrive par exemple à celle-ci : 

 la base des puissances P étant toujours a, on peut passer d'un système de 

 logarithmes /à un autre svstème de logarithmes /en multipliant ceux du 

 premier système par le rapport des deux logarithmes T^ des bases du premier 

 et du second système. 



» Les propriétés réunies des deux fonctions Ti et / correspondent à celles 

 du logarithme ordinaire. 



)) Le logarithme L a encore une propriété qui découle facilement de sa 

 définition, et qui est la suivante : la fonction h de M. Kœnigs est la diffé- 

 rence de deux logarithmes L. » 



GÉOMÉTRIE. — Sur ks surfaces qui admettent un grcupe infira discontinu de 

 iransfoi malions biralionnelles. Note de M. P. Painliîvé, présentée par 

 M. Picard. 



« Les transformations birationnelles d'une surfice algébrique en elle- 

 même formant toujours un groupe. Pour les courbes, ce groupe est ou 

 discontinu et fini, ou continu. En est-il de même pour les surfaces? Autre- 

 ment dit, cxiste-t-il des surfaces algébriques qui admettent une infinité discon- 

 tinue de transformationshirationrielles en elles-mêmes, sans admettre de trans- 

 formations continues? 



» Cette question vient d'être résolue de la façon la plus élégante par 

 M. Humbert {Comptes renJus, 3o janvier i8<-i7), qui i montré incidemment 



