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que certaines surfaces de Rummer non dégénérées admettent, comme 

 groupe de transformations birationnelles, un groupe infini discontinu. Je 

 voudrais former directement ici un exemple plus simple encore qui jouit 

 de la même propriété. 



» Il suffit de considérer la surface 



(S) ^,^l,.r^-g..x-g,^ 



OÙ go, ^3 sont des constantes numériques. Les coordonnées x, y, z d'un 

 point M de cette surface se laissent mettre sous la forme 



» A un point M de S correspondent deux systèmes (non congruents) 

 de valeurs de (u, v), à savoir les systèmes (m, v) et (— u, — i>). La trans- 

 formation u, := u -h v, i\ = v définit évidemment une transformation bira- 

 tionnelle de S, de même que la transformation iin = u, 1!., = ^ -h u; la 

 surface S admet donc le groupe infini discontinu de transformations bira- 

 tionnelles défini par les égalités 



(T) u , = 771U -h m\ v,^^m'u-hn'v (mn' — m' n ^^ dz i) , 



m, n, m', n' étant des entiers (' ). Elle renferme, de plus, une infinité discon- 

 tinue de courbes unicursalesTl (transformées d'une d'entre elles, soil II = (', 

 par les transformations (T)] : le degré de ces courbes dépasse toute limite. 

 )) D'autre part, ( S) n'admet pas de transformations birationnelles t dé- 

 pendant d'une constante arbitraire. En effet, S est de genre /> = i, car 



elle possède l'intégrale double de première espèce / j dudi>; S ne saurait 



donc contenir une infinité continue d'unicursales ; par suite, s'il existait une 



(' ) La surface S, si j0^2, j°3 sont quelconques, admet en outre les transformations 

 birationnelles 



fio rrzo, w,, W2, 10 

 U.— U-\-w, l'i=(' + W 



[_(o ir; o, (Oi, (O2, oj 



qui, combinées avec T, épuisent toutes les transformations de S. Si g^z^o, il faut 

 ajouter aux transformations précédentes les transformations 



11^ ZZZ ZU, l'i = Tj (• 



[v-!]' 



et, si ^3 = 0, les transformations u 3=± 111^, l'i =-t «V. 



C. R., 1898, 1" Semestre. (T. CWVl, N° 7.) '^l 



