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Toulouse, un petit Mémoire S'«r/V^e/a/f"on dans lequel j'établis la proposition 

 suivante qui résout, théoriquement du moins, le problème de l'itération 

 dans un cas très général. 



» Soient cp(^) une fonction de substitution et x un point limite tel que l'on 

 ait, à la fois, 



cp'(s) étant la dérivée de cp(s ). Posons, comme de coutume, 



ç, (:;) = ©(s), Ojf's'i — ©[^(s)!, .. , (pj„(s) -— oj'pp_, (s)j. 



» La série suivante 



ce 



P 



= 1 



est convergente, quel que soit k, dans un domaine convenablement choisi entou- 

 rant le point limite x. La fonction \'{k, z') ainsi définie est, dans ce domaine, 

 l'itérative de (a(z); c'est-à-dire que l'on a : 



» 1° Pour tout nombre entier, positif ou négatif, p 



» 2° Et quels que soient k et k' , 



^'\k,^:-(k\z)]=^W{k + k',z). 



» Si l'on observe que la fonction itérative-ir(^, z) peut s'écrire, symbo- 

 liquement, 



W(^k,z) [i-!- (ç - i;)j*:;, 



quelques-unes des remarques faites par M. Lénieray, dans la Note pré- 

 citée, deviennent presque évidentes, puisque ^'{k,z) est une puissance 

 symbolique d'exposant /■. 



M Je profite encore de cette occasion pour rappeler que j'avais déjà 

 énoncé, sous une forme plus générale, certains des résultats indiqués par 

 M. Lémeray dans sa Note du 27 décembre 1897, Sur les équations fonction- 

 nelles linéaires, dans une Note qui a été insérée dans les Comptes rendus du 

 21 juin 1897. J'^'' d'ailleurs, l'intention de développer les indications som- 

 maires qui en font l'objet dans un Mémoire plus étendu. 



