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l'influence de l'effluve, ont plutôt une constitution cyclique, c'esl-à-dire celle 

 de corps relativement saturés : ce qui les rapproche des séries pyridi([ue 

 et quinoléique, dérivées elles-mêmes, comme on sait, des aldéhydes par 

 condensation moléculaire. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Les fonctions fuchsiennes et l'équation Au = e". 



Note de M. H. Poi.ncaré. 



« Parmi les équations de la forme 



(') ^=9('^.7)^'' 



où (p est une fonction rationnelle de deux variables x et y liées par une 

 relation algébrique donnée 



(2) /(x,y)=o, 



parmi toutes ces équations, dis-je, qui admettent des points singuliers 

 donnés et de telle façon que la différence des racines de chaque équation 

 déterminante soit un entier donné, il y a toujours une équation fuchsienne, 

 c'est-à-dire engendrant des fonctions fuchsiennes. 



» Nous avons donné de ce fait, M. Klein et moi, une première démon- 

 stration fondée sur le principe de continuité. Plus tard, M. Picard a ramené 

 la question à l'intégration de l'équation 



(3) AM = e" 



et il a démontré l'intégrabilité de cette équation par une méthode qu'il a 

 imaginée et qui consiste àl'établir d'abord pour un domaine assez petit pour 

 l'étendre ensuite au plan entier. 



» Voulant éviter ce détour, j'ai cherché une méthode nouvelle dont je 

 vais exposer maintenant le principe. 



» J'introduis la surface de Klein : c'est une surface fermée; à tout point 

 réel àe cette surface correspond un point imaginaire de la courbe (2) et 



inversement. Je pose d'ailleurs 



du 

 Du ^ Au-r> 

 dm 



où d(ji est un élément de la surface de Klein et Jii l'élément correspondant 



