( ^-^^ ) 



(lu pliin (lesfr. L'équation (3) se ramène alors à la forme 



(4) DU = 0e'-'l', 



où ô et 4> sont deux fonctions données, la première toujours positive. 



)) Le problème de la formation de l'équation fuchsienne se ramène à la 

 détermination de la fonction U qui doit être partout finie. 



» L'analyse repose sur certaines inégalités très simples qui se déduisent 

 d'une remarque unique : si U est maximum, DU est négatif; si U est mi- 

 nimum, DU est positif. 



» Je commence par intégrer l'équation 



(5) Da=o. 



où cp est donnée; cette intégration n'est possible que si 



f «p dio = o , 



l'intégrale étant étendue à tous les éléments cko de la surface de Klein. 

 L'équation (5) est de môme forme que l'équation bien connue de la théorie 



du potentiel 



Aa =^ o, 



que l'on intègre par la fonction de Green. I/équation (5) s'intègre par un 

 procédé analogue ; la fonction qui joue le rôle de la fonction de Green est 

 la partie réelle d'une intégrale abéiienne de troisième espèce facile à 

 former. 



» J'étudie ensuite l'équation 



(G) D« = 'kr,ii — « — ^'J', 



où 'n, o, ^ sont trois fonctions données, la première toujours positive et 

 où \ est un paramètre positif. 



M Je montre d'abord que l'équation est intégrable pour les petites 

 valeurs de \ et que l'intégrale peut se développer suivant les puissances 

 de >.. Je montre ensuite que, si elle est intégrable pour "X = 'Xj, elle le sera 

 encore pour les petites valeurs de >> — 'Xo et que l'intégrale peut se déve- 

 lopper suivant les puissances de \ — 'Xg. Je conclus que l'équation est inté- 

 grable poiM' toutes les valeurs positives de \. 



» Il V a uu cas où cette méthode est en défaut. C'est quand le polygone 

 fuchsien a îles sommets sur \v cercle fondamental; dans ce cas il y a des 



