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jjoints où les fonctions n et deviennent infinies comme 



.r* log^.r 



» Dans ce cas d'ailleurs, la méthode de M. Picard est également en 

 défaut. Je ne puis entrer dans le détail des artifices que j'ai dû employer 

 pour triompher de cette difficulté. Cela a été la partie la plus longue de 

 mon travail. 



» Je me bornerai à dire que l'intégrale est toujours finie, qu'elle peut se 

 développer suivant les puissances de 1, mais que les termes du développe- 

 ment peuvent devenir infinis. 



)' C'est ainsi que la fonction x^ reste finie pour x ^ o, si >. est positif; 

 qu'elle peut se développer suivant les puissances de 1 



a?^= I + A !og.r -t- --(logx)- +. . ., 



mais que les termes du développement deviennent infinis pour .r = o. 

 » Cette difficulté vaincue, j'aborde l'équation 



(7) Dw==Oe"- <p— X'i, 



où 0, ç et 6 sont connus et positifs, et où \ est un paramètre positif. 



» Je suppose qu'on sache intégrer réquation_(7) pour l = o; je puis 

 alors former une série procédant suivant les puissances de X et satisfaisant 

 à (7). J'obtiens chaque terme par l'intégration d'une équation de la 

 forme (6); et, grâce aux inégalités établies au début, je montre facilement 

 que la série converge, si \ est assez petit. 



» On peut démontrer alors de proche en proche, comme pour l'équa- 

 tion (6), que l'équation est intégrabie pour toutes les valeurs positives de a. 



M En résumé, l'équation (4) est intégrabie si $ est toujours positif, et il 

 est aisé de conclure qu'elle l'est encore pourvu que 



(8) r<I)r/(o>o. 



» Cette condition est nécessaire et suffisante. Il reste à vérifier que cette 

 condition (8) est remplie dans les applications que l'on a à faire aux fonc- 

 tions fuchsiennes. Cette vérification est facile. 



» On peut entrevoir la possibilité d'une démonstration rigoureuse fondée 

 sur le calcul des variations. Il est aisé de former une intégrale double qui 

 doit être minimum si l'équation (4) est satisfaite. Mais ce genre de raison- 



