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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur fa transformation (FEuleret la détermina- 

 tion des points singuliers d'une fonction définie par son développement de 

 Tavlor. Note de M. Erxst Li.vdelof, présentée par M. Picard. 



« Soit/(x) une fonction analytique définie au voisinage du point x = o 

 par la série entière 



( I ) a„ -h a^ .r -h a^x- -h . ■ . -h a„ .r" -f- . . . , 



dont nous supposons, pour simplifier, le rayon de convergence égal à 

 l'unité. Nous appliquons à f(x) la transformation d'Euler 



( n) a- = — — 1 d'où y= ~- 



)) La fonction transformée, /(^-|-^j = ?(7)' sera définie, dans le do- 

 maine du point y = o, par le développement 



(3) c„ + c,y -h c.,y- + . . .+ c„/' + . . .. 



où Cj == rt„, et 



C„ = «„ — ( « — l)««-, H ^7^ ««-2 — • • 



+ (-iyCa„.,+... + (-iy'-v,,. 



)> Or, par la transformation (2), la partie T du plan x, située à gauche 

 de la droite x — t„ est représentée d'une manière conforme sur le cercle C 

 du plan y ayant l'origine pour centre et le rayon égal à l'unité. Donc, si la 

 fonction /(«) est régulière à l'intérieur de l'aire T, 9(7) sera régulière 

 dans le cercle C et, par suite, la série ( 3) sera convergente pour [j |< 1 , 

 en sorte que/(ir) sera représentée, pour tout point de T, par le dévelop- 

 pement 



» Dans les cas où il se trouve, à l'intérieur de T, des points singuliers 

 de la fonction /(a;), le rayon de convergence p de la série (3) sera infé- 

 rieur à I ; mais ce rayon est au moins égal à ~, puisque au cercle | r | = ^ 

 correspond, dans le plan de la variable x, un cercle ayant pour diamètre 

 le serment — i h ^ de l'arc réel. On voit donc que p est égal à i ou est 



