( Gy^ ) 



plus grand que :'. siiiviint que 3' = — i est, poury(.r), un poiiil singulier 

 ou ordinaire. 



» T^a transformation d'Enler est nn cas particidiei' de la suivante : 



X = — ■■ — ) V = 



où nous désignons par a une constante réelle el posilàe. Cette dernière 

 transformation réalise la représentation conforme sur le cercle C de la 



région T' du plan a:, située à gauche de la droite .r = -■ Après la transfor- 

 mation, la série (i) deviendra 



(4) «0+2 



•^..--r.-Oa„„a"-+ ^"-'.^^:-^^ .._.x 



ri-i 



S\ /(ce) est régulière dans ï', le ravon de convergence S de cette série est 

 égal à ii/i ; dans les autres cas p' est inférieur à i, mais au moins égal à 



• On aiu'a s'>> ou o'= suivant que la fonction f(x) est ou 



non régulière au point ,r =: — [, 7. avant d'ailleurs une valeur positive quel- 

 conque. 



» Pour rechercher si im point donné e''^, situé sur le cercle de con\er- 

 gence de la série ( i), est un point singulier, on pourra appliquer les con- 

 sidérations précédentes, après avoir fait la sidjstitution x = e''^~'">' z. 



» On comprend, dès lors, le parti ([ue l'on pourra tirer de la transfor- 

 mation d'Euler pour déterminer les pomts singuliers situés sur le cercle de 

 convergence ou même, dans bien des cas, en dehors de ce cercle. La 

 question revient en somme à calculer le rayon de convergence de la 

 série (i) ou de la série plus générale (4). où l'on aura attribué à y. une 

 valeur convenable. 



)i Cette méthode permet encore d'établir rapidement plusieurs résultats 

 antérieurs, relatifs aux conditions que doivent remplir les coefficients d'une 

 série, pour cpie l'on puisse affirmer qu'un point donné de son cercle de 

 convergence est un point singulier, ou que la série admet ce cercle comme 

 coupure. En voici un exemple. Posons a,i = g,,e^»' et admettons que 

 crts^a,^— y.j,) ^ r,^ o, pour toutes les valeurs de n et p supérieures à k. 

 Nous nous iiroposons de démontre)' que x ^ î est un point singulier. 



» l'our qu'il en soit ainsi, il faut et il sutfit qu'en posant 



^ {il — l){/i —9.) 



^„ = ««-+- {'> - 0^'"-< -• r^, ({„-■< + ■■■ -+- n, 



c. R., 189S, I" Semestre. (T. CWVl, N» 9 ) 



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