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 diqiier un procédé très simple pour faire cette détermination dans le cas 

 des équations du deuxième, du troisième et du quatrième ordre ; j'exposerai 

 seulement ici les résultats concernant les équations du quatrième ordre, ce 

 qui donnera en même temps une énumération complète des cas de 

 réduction que présentent ces équations. 



» La méthode employée est d'ailleurs susceptible de s'étendre aux équa- 

 tions d'ordre supérieur. 



« l. Il existe un très grand nombre de groupes linéaires homogènes à 

 quatre variables, mais nous allons les ranger dans un petit nombre de caté- 

 gories que nous caractériserons simplement. 



)) Soit un groupe continu o-dont les équations sont 



Y, = «/7, + biV. + c^y, + d^y, {i = ^ , 2, 3,4), 



et supposons que j',,j'2'J'3>.>'4 soient les coordonnées homogènes d'un point 

 de l'espace à trois dimensions. Les substitutions du groupe ^effectuent sur 

 les points de l'espace des transformations projectives formant un groupe 

 continu y. 



» M. Lie a montré que les hypothèses suivantes sont seules à envisager : 



A, Y est le groupe projectif général de l'espace à trois dimensions; sinon il 

 laisse invariable l'une au moins des figures suivantes : B, un plan; C, une 

 droite; D, un point; E, une surface du second degré non dégénérée; F, un 

 complexe linéaire; G, une cubique gauche. 



» Nous partagerons les groupes continus linéaires homogènes à quatre va- 

 riables en sept catégories A, B, C, D, E, F, G, suivant la figure géométrique 

 que le groupe projectif correspondant '( laisse invariable. Un même groupe 

 peut d'ailleurs appartenir à plusieurs catégories différentes. 



» Nous allons caractériser les groupes de chaque catégorie par un inva- 

 riant différentiel spécial. 



» A. Les seuls groupes continus de cette catégorie sont les groupes 

 linéaires homogènes général et spécial. Ils sont caractérisés par ce fait 

 qu'ils n'admettent aucun des invariants ditférentiels appartenant aux caté- 

 gories suivantes. 



M Pour les autres catégories, les invariants caractéristiques sont respec- 

 tivement les dérivées logarithmiques des fonctions suivantes : 



B. u=y,, 



