( 717 ) 



j'i y-i ,7.1 j 

 u. "'-^ y\ y'- y'. |. 



j'i J^ yl i 



E. = y, + ri; + y'; -i- .v ^ , 



^^- "^ et -^ = (7. V, -J0J-3)-- .KJo- j, J',)(7!;-J2.V4). 



M 2. Le groupe de ralionalité d'une équation linéaire <]ii qnalrièinc 

 ordre ou tout au moins son plus grand sous-groupe continu appartient à 

 l'une des sept catégories que nous venons d'énumérer. Les équations du 

 cjuatricme ordre se partagent donc en sept catégories suivant la nature de leur 

 groupe de rationalité. 



» Pour décider à quelle catégorie appartient une équation linéaire don- 

 née, il faut rechercher si les invariants donnés plus haut sont rationnels 

 ou algébriques quand on remplace y, jj'o.j'a, JK, par un système fondamen- 

 tal d'intégrales de l'équation donnée. 



» Mais les quantités u, v, w, G, co, c vérifient des équations linéaires à 

 coefficients rationnels qu'il est aisé de former et l'on sait reconnaître si ces 

 équations ont des intégrales dont la dérivée logarithmique est rationnelle 

 ou algébrique (voir PAl^'LEvÉ, Comptes rendus, i88y-i888). 



» On peut donc toujours, par un no/>ibre fini d'opérations, reconnaître à 

 quelle catégorie appartient une équation linéaire donnée. Le problème de la 

 détermination du groupe de rationalité est donc circonscrit et l'on en pour- 

 suivra la résolution par des procédés analogues. 



» Faisons encore remarquer que les catégories que nous avons obtenues 

 embrassent tous les cas de réduction des équations linéaires du quatrième 

 ordre. 



» 3. V Al monirë (Coi7iptes rendus, novembre 1896) qu'à tout point sin- 

 gulier d'une équation linéaire était attaché un groupe de transformations 

 linéaires dont les invariants sont méromorphes au voisinage du point sin- 

 gulier. 



» Les groupes de métomorphie des équations du quatrième ordre apjiar- 

 tiennent à l'une des catégories établies plus haut; il y a donc sept catégories 

 de points singuliers. 



» Pour décider à quelle catégorie appartient une singularité, il faut 

 lechercher si les invariants caractéristiques que nous avons donnés sont 

 méromorphes ou algébriques dans le domaine de la singularité. Nous avons 



