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on mira 



(7) 



dY, ÔZ, dZ, dZ^ 



du ' du 



\ ou au ' ' 



1 dY, ÔZ, 



d\i dZ, dZ.. dZ 



\ - ■ 



et, par suite, 



dv ' "' d 



(8) d\\ + d\\ H- âX\ + ^V; -t- ^V^ = dl\ + (17^ -+- dV,. 



» Appelons N le point de l'espace à trois dimensions qui a pour coor- 

 données Z,, Zj, Z3. Si u et V sont fixes, le point N décrit une droite D dont 

 les équations sont les équations (6). Cette droite D décrit donc une con- 

 gruence (D) dont les deux plans focaux sont représentés par les équa- 

 tions (6) à cause des conditions (8) et (4). Au point N on fait correspondre 

 dans l'espace à cinq dimensions le |)ointN', à la droite D une droite D', à 

 la congruence (D) une congruence (D'). Les points correspondants N et 

 N' décrivent des surfaces applicables. D'ailleurs, de toutes les formules qui 

 précèdent on déduit 



( \ <^'Y,- _ ( )'Z, ^ d^ ^_ d^Z^ 



^^> dudi' ~ ''^' Oudv '^■^'' dudv ~'' ^' dudv' 



Donc les réseaux conjugués se correspondent sur les congruences (D) et 

 (D'). Ces congruences (D) et (D) seront aj)pelées des congruences appli- 

 cables. Coupons la congruence D' par le plan 



Y., + y/— I Y5 = const. 



» Le point d'intersection N' décrira un réseau; on aura ici 



dY- + dY: ^ dY; = dZ] + d?.'; + dZ;. 



Donc le point correspondant N décrit un réseau C. La congruence (D) est 

 donc une congruence K. Je démontrerai, dans la deuxième partie de mon 

 Mémoire, qu'inversement toute congruence K est applicable sur une con- 

 gruence K' de l'espace à cinq dimensions. Ce qui précède met immédiate- 

 ment en évidence les résultats suivants : 



» Les réseaux C d'une congruence R correspondent aux points d'intersec- 

 tion de R' ai'ec les plans 



p, Y, -f- /?o Y, + . . . -+- /?s Y5 = const. , p'^ ''' P'- +• • ■ -^- PI = o. 

 n Les réseaux 1 C correspondent aux points d' intersection de R' avec 



