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 le plan 



p,Y, + . . . -^;;5 Y5 = const. , p' ^ p; -'r- ■ ■ ■ -H Pl ? o- 



» Les autres réseaux sont des réseaux 3C en général. 



» Dans une prochaine Note, je chercherai dans quel cas une con- 

 gruence K est en même temps une congruence O; en outre, j'étudierai 

 les congruences K qui sont de plusieurs manières applicables sur des 

 congruences R'. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les invariants des équations linéaires aux 

 dérivées partielles à deux variables indépendantes. Note de M. J. Le Roux, 

 présentée par M. Darboux. 



« De même que les équations du second ordre, les équations d'ordre 

 supérieur admettent, dans certains cas, des intégrales particulières, s'ex- 

 primant à l'aide d'une fonction arbitraire d'une variable caractéristique, 

 et des dérivées de cette fonction en nombre limité. 



» Ces intégrales peuvent être déterminées par une suite de transforma- 

 lions analogues à celle de Laplace. Mais, tandis que, pour les équations du 

 second ordre, la transformée est également du second ordre, dans les 

 équations d'ordre supérieur l'ordre augmente en général à chaque trans- 

 formation. 



» Par exemple, si l'on part d'une équation d'ordre n pour laquelle la 

 variable œ est caractéristique simple, on en déduira une équation d'ordre 

 n -\- n — 2. admettant x comme variable caractéristique d'ordre n — i. 

 Parmi les multiples transformations auxquelles on pourrait assujettir 

 celle-ci, il y en a une qui est plus particulièrement liée à l'équation primi- 

 tive et qui conduit à une seconde transformée d'ordre n ^- 2(« — 2 ), ad- 

 mettant X comme caractéristique multiple d'ordre i + 2 (« — 2). 



» En général, l'ordre de l'équation transformée et l'ordre de multipli- 

 cité de la caractéristique j; augmentent de « 2 à chaque opération ; mais, 

 dans certains cas particuliers, l'augmentation peut être moindre; il peut 

 même arriver que l'équation proposée et les transformées soient indéfini- 

 ment du même ordre. Les principales propriétés de l'équation relative- 

 ment à la transformation considérée se reflètent dans une suite d'inva- 

 riants analogues à ceux qui ont été introduits par M. Darboux pour le 

 second ordre. 



