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» Si je ne me trompe, on n'a pas encore remarqué que la résolution du 

 problème mentionné (dont Riemann ne démontre même pas la possibilité ^ 

 puisse être donnée à l'aide des mêmes principes qui ont permis à M. Poin- 

 caré d'intégrer chaque équation différentielle linéaire par les fonctions C 

 fuchsiennes, au moins dans le cas où toutes les racines des équations 

 fondamentales relatives aux substitutions données A, , ..., A^ et à la substi- 

 tution Aç^_, = A7' . . . A~' ont pour module l'unité. C'est ce que nous allons 

 démontrer. 



» Si, pour l'une des substitutions A^, les racines de l'équation fonda- 

 mentale correspondante sont des racines de l'unité, et si, de plus, la forme 

 canonique de A^ ne contient que des termes diagonaux, nous désignons 

 par g^ le nombre entier le plus petit, pour lequel toutes ces racines satis- 

 font à l'équation w^* = i . Si, pour une substitution Aj^, ces deux conditions 

 ne sont pas satisfaites à la fois, le nombre correspondant g^ sera pris 

 infini. I^es A;^, pour lesquels le nombre gi, est fini, vont satisfaire à l'équa- 

 tion A^' = i. Avec les points «,, a^, ..., a^+i et les nombres g,, g^, ..., 

 ^^+1, on peut former une équation 



normale (voir Poincaré, ActaMathem., t. IV, p. 228) admettant les points O/i 

 comme points singuliers, et les valeurs réciproques des gk comme diffé- 

 rences des racines des équations déterminantes correspondantes. Si le type 

 déterminé par (i) est un type fuchsien, il résulte du théorème fondamental 

 de M. Poincaré que ce type contient toujours une équation fuchsienne. 

 Sans avoir recours au théorème de M. Poincaré dans toute sa généralité, 

 par exemple en s'appuyant seulement au cas spécial de ce théorème que 

 j'ai démontré, par une voie différente de celle de M. Poincaré, au Tome 105 

 du Journal de Crelle, on peut dire (voir le § Il du Mémoire cité de M. Poin- 

 caré) qu'il est possible de trouver une équation fuchsienne 



appartenant à un type subordonné au type (i) et admettant comme points 

 singuliers, outre les points donnés a^, encore certains points non donnés. 

 Soit / le groupe des substitutions homogènes et unimodulaires, qu'un sys- 

 tème fondamental «,, it., de (2) subit, si x décrit tous les chemins fermés 

 possibles, il est évident que le groupe formé des substitutions A,, ....Aj^^., 



