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 nous avons 



» Soit $ une intégrale première ne contt-nant pas le temps et dévelop- 

 pable, dans un certain domaine, suivant les puissances décroissantes des 



vitesses j;' = -^ et y = -y^ • Désignor,s par il'„, $,, ^.,, ... les différents 



groupes homogènes en a*', y' qui composent 4»; «î'o étant l'ensemble des 

 termes de })lus haut degré, p. Ou a 



COnSt, r= $ :;,. Og + 4', +• $2 + . . . = 2$/, 



d'oi!i l'identité 



)) Les termes de qui sont de degré m en x', y' introduisent dans celte 



identité des termes de degrés m — i et m -i- i par rapport à ces mêmes 



quantités; les premiers proviennent des dérivées par rapport aux vitesses, 



et les seconds des dérivées par rapport aux coordonnées. Il en résulte 



que 4', est du degré p — 2 en x', y' et, en général, que $/ est du degré 



p — li. 



u La transformation 



3 

 X =lXf, y =ly,, l = l^t, 



ne mo<lirie pas les équations (i); elle introduit donc dans tous les termes 

 de l'intégrale <ï>, supposée indécomposable, une même puissance de \. 



» Les <E>, sont homogènes par rapport aux vitesses et leurs degrés dé- 

 croissent de deux unités ; ils doivent donc être encore homogènes par 

 rapport aux coordonnées et leurs degrés, en x, y, doivent décroître d'une 

 unité. 



» En désignant par/? et q les degrés de <I>„ par rapport aux vitesses et 



y' 

 aux coordonnées, par 3- le rapport ^, nous avons 



.V 



^i = x'P-'-'x''--'Yi{irs); 

 les F, représentent des fonctions quelconques de s et 



