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OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE. — Les invariants intégraux et l'Optique. 

 Note de M. Hadamard, présentée par M. Poincaré. 



« Le théorème de Malus, cas particulier du théorème de Thomson et 

 Tait sur les trajectoires de la Dynamique, exprime, comme on sait, qu'une 

 certaine équation aux différentielles totales 



(0 H = o 



est invariante pour un système de rayons lumineux dans toute réflexion ou 

 réfraction. 



» Parlant de ce principe et des travaux de M. Abbe, M. Bruns (') dé- 

 montre que, si un système optique est partout anastigmate, c'est-à-dire fait 

 correspondre à chaque point-objet un point-image unique, la correspon- 

 dance ainsi réalisée ne peut être qu'une similitude. 



» Il ajoute ( ' ) : 



« Ce cas est, par exemple, réalisé dans la réfraction sur une surface plane. A cause 

 de sa simplicité, il n'est pas nécessaire d'en poursuivre plus longuement l'étude, d'au- 

 tant moins qu'en Optique pratique, dans les formes les plus importantes, à savoir 

 dans les objectifs du microscope, de la chambre noire et de la lunette, comme dans les 

 oculaires, il ne s'agit en aucune façon de produire des représentations géométrique- 

 ujent semblables des corps. » 



« Cette assertion ne semble pas devoir être admise sans discussion. S'il 

 est vrai que les instruments dont nous disposons n'ont pas pour effet de 

 grossir les figures en en conservant la forme, il est non moins certain qu'un 

 pareil grossissement, si l'on pouvait l'obtenir, bien loin d'être un résultat 

 sans importance, constituerait la solution la plus satisfaisante possible du 

 problème de la Dioptrique. H y a donc lieu de se demander si le rapport de 

 similitude de l'image et de l'objet peut être différent de i . 



» La réponse est négative, mais elle ne résulte pas du raisonnement de 

 M. Bruns. Cette circonstance n'a pas, en effet, pour cause la seule inva- 

 riance de Véqualion H = o, mais bien le caractère invariant de son premier 

 membre; c'est ce que montre la théorie des invariants intégi-aux. 



» Partons, par exemple, du volume (au sens de M. I^oincaré, Acta 



( ' ) Das Eikonal {Abliandlungen der Sachs. Gesellsch., t. XXI; iSgS). 

 (-) Das Eikonal, p. ^8 {Abliandl. der Sachs. Gesellscli.. t. XXI; p. 370). 



