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math., t. \III). Ce volume est, dans l'exemple actuel, une intégrale sex- 

 tuple, qu'on réduit aisément (') à une intégrale quintuple, étendue d'une 

 part aux points d'une certaine portion d'espace, d'autre part à un faisceau 

 de rayons (à deux paramètres) issu de chacun de ces points. Cette inté- 

 grale conserve sa valeur lorsqu'on remplace les dillérenls points-origines 

 par les extrémités de segments portés sur les rayons correspondants et 

 parcourus par la lumière dans un même temps. 



» Mais de celte même intégrale on peut ( - ) en déduire une autre qui 

 ne change pas lorsqu'on remplace les points-origines par les extrémités de 

 segments quelconques portés sur les rayons qui en sont issus. Celle-ci est 

 une intégrale quadruple, qui diffère de la précédente en ce que les points- 

 origines remplissent, non plus une portion d'espace, mais une portion de 

 surface. De chaque point est, comme précédemment, supposé issu un 

 faisceau de rayons remplissant un angle solide déterminé. 



» Cette intégrale quadruple fournit la démonstration demandée. Il 

 suffit, à cet effet, de l'étendre, d'une part à un système de points-objets, 

 d'autre part aux points-images correspondants. Les angles solides étant 

 égaux de part et d'autre (en vertu des conclusions établies par M. Bruns), 

 le rapport des deux intégrales est égal au carré du rapport de similitude 

 cherché, lequel est, par conséquent, égal à l'unité. 



» Ce qui précède conduit à penser que la théorie des invariants inté- 

 graux peut aider à la résolution d'une des questions fondamentales de 

 l'Optique géométrique, posées par M. Bruns dans l'Ouvrage cité : 



» Trouver, parmi toutes les correspondances entre espaces réglés, celles qui 

 sont susceptibles d'être obtenues par une série de réfractions. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les lois de réciprocité . 

 Note de M. X. Stouff, présentée par M. Darboux. 



« Je désire ajouter quelques compléments à la Note présentée sur ce 

 sujet en septembre 1896. Considérons un nombre premier/(a) formé avec 

 les racines 'X'*'™" de l'unité, et le parallélépipède P dans l'espace Ex_, à 1 — i 



(') Voir mon Mémoire Sur certaines propriétés des trajectoires en Dynamique 

 (Journal de M. Jordan, 5" série, t. III, p. Syg-SSo). 



(-) Les Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste, t. I\, p. 177. 



