( «'^» ) 



» Par conséquent, le calcul de w esl bien simplifié, puisqu'on n'a plus à 

 s'occuper de l'enchevêlrement des faces des polyèdres. Mais on peut aller 

 plus loin. Si l'on construit une ligne brisée ou courbe joignant l'origine 



au point •' - -, et si l'on transforme cette ligne par multiplication par 



a, a,", .... a'~', les lignes ainsi obtenues pourront manifestement servir à 

 construire un parallélépipède P' analogue à P, engendrant le grou|ie r, et 

 à faces brisées ou courbes. On démontre cjue, si l'on transforme H' et H', 

 de la manière correspondante, en même temps que P, et si l'on ajoute les 

 quantités (o, et w', relatives à la nouvelle figure, (o ne change pas. Dès lors, 

 on peut faire en sorte que les limites de P', II' et des régions R, se com- 

 posent de multiplicités-limites parallèles aux plans coordonnés, en adjoi- 

 gnant aux directions a, a", ..., a'~' des axes-coordonnées la direction 

 auxiliaire i. L'évaluation du nombre des points à coordonnées divisibles 

 par \ dans les divers polyèdres est alors facile. 



» On en conclut que, si les coeflicients dedeux nombres premiers /"(a.), 



o((x) sont congrus mod).\ les caractères -. — , — --\ sont é2;aux. On 

 peut même aller plus loin. Soit 



1=1 1=1 



si pour deux nombres ])remiersy^(a), ç(o'-) les valeurs de .y sont congrues 

 modT.', les coefficients a, n'étant astreints eux-mêmes qu'à être congrus 

 mod)^'-, les deux caractères sont égaux. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la (ransfonnation des fonctions abélie.nnes . 

 Note de M. G. Humbkrt, présentée par M. Poincaré. 



« Nous dirons, pour abréger, qu'une fonction abélienne de deux va- 

 riables a pour périodes {g, h, g') si le Tableau normal des périodes est 



o \ g h 



I 



o h 



en désignant par g^, /«,, g\ les parties imaginaires de g, h, g', nous suppo- 

 serons g, g\ — /<; > o et g, , et g\ > o. 



» Etant donné un systèm.e de périodes {g,/t,g'), le problème de la 

 transformation, posé et résolu par M. Ilermite, consiste à trouver tous les 



