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systèmes (G, H, G') tels qu'une fonction abélienne quelconque, F(U, V ), 

 formée avec ces nouvelles périodes s'exprime rationnellement à l'aide des 

 fonctions abéliennes du système primitif, /(w, v). 



» Il est clair d'abord que U, V doivent être linéaires en u, c : 



(i) U = 'X« + [J-v, V =r l'a -\- ij.'v; 



il faut et il suffit ensuite que, si l'on augmente u et v d'une de leurs pé- 

 riodes, U et V augmentent aussi d'une de leurs périodes, ce qui donne, 

 en désignant par a,, è,, c,, r/,, des entiers, les relations 



/ 1 -- a^-h a.iG -h aAl, [j. = b^-h b,,G -\- b.,l{, 



] >.' =- «, -t- rtjll 4- «.,G', u.' = 6, -f- 6.,H -j- è,G'; 



i Ig -\- [j.h = f/„ -H r/jG -^ (lAi, l/i -h if'g' = c^ -f- c.,G -f- c.,U, 



\ l'g -T- [J.'h = d, -f- fl'j H +- r/jG', 7.'A -i- ij.'g':z=c, -h c.,II 4- c.G'. 



J/élimination de X, ;j., V, y.', G, H, G' conduit à l'équation 



(/i- — gg')[(ba),^-^(^ba),,]-+-g[(ca),, + {ca),,] 



-^ g'[(f^(Ooi> + (bd)<2]-h mcb)„^-r (ad)„,^(cb),.,-^{ad),.,\ 



-h[(^c)„, + (c^6-),,]--=o 

 [où (ba),j = b^ttj — bjU;]. 



» Si g, h, g' sont pris au hasard, les coefficients de /r — gg , g, g', h et le 

 terme constant doivent être nuis : c'est l'hypothèse qu'a faite M. Hermite 

 et dont il a déduit la théorie ordinaire de la transformation. Mais si g, h, g' 

 et /r — gg' sont liés par une relation linéaire à coefficients entiers, il exis- 

 tera d'autres transformations singulières que celles habituelles. 



» La relation supposée entre les périodes peut se ramener, comme je 

 l'ai déjà indiqué, à la forme 



v~g -\- "j/i -+- y g' = o avec p- — 4 y-'{ > o, 



a, [i, Y étant entiers (on peut même admettre a. ^i et fi =; o ou i). Les va- 

 leurs de G, H, G' et celles de 1, V, y., y.' sont alors données par les rela- 

 tions (a), où les a, b, c, d sont des entiers liés uniquement par les relations 



(ôa)„;, -f-(èa),2 = o, 

 (ffc),,-+-(dc),, = o, 



(■'>) { (ca)„.,+(ca),.,=zryj{, 



(bd),,-h{bd),.,=zj/c, 

 (cb),, -+ {ad)„, + (cb),., -h (^ad),.,=-- i^Â-, 



k étant un entier arbitraire. 



G. R., 1S98, i" Semestre. (T. CXWI, N" 11.) lo;) 



