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w Soit &(U,V) une fonction thêta du premier ordre aux périodes 

 (G, H, G'); par l'intermédiaire de (i), c'est une fonction de u, v; v^Çu, i>). 

 Désignons par '\i(u, t') le produit de o par une exponentielle e^, où P est un 

 polynôme du second ordre en u, v, convenablement choisi; on trouve que i 

 vérifie les équations 



!<!'(« + I , (') = ']/(», (' -\- i) = <h{u, V ), 



cela, en tenant compte de (3) et en posant 



/= {a T)„^ + (ad),^. 



» La fonction J/ est donc une de ces fonctions intermédiaires singulières 

 que j'ai introduites dans une Note antérieure. Si k =-• o, c'est-à-dire dans le 

 cas des transformations ordinaires, '\>(ii, r) est une fonction thêta; récipro- 

 quement, si une transformation change une fonction thêta en une fonction 

 thêta, k est nul, et la transformation est ordinaire. 



» A un système de valeurs (U,V) correspondent/^— ^M-hk'ocy systèmes 

 de valeurs (non congruents) de m, <■; à un système (u, c) correspond na- 

 turellement un seul système U, Y. Le nombre positif i- — ^kl-\- X'-ay, que 

 nous désignerons par S, sera dit l'indice de la transformation singulière 

 considérée; pour une transformation ordinaire, l'indice est le carré de 

 l'ordre. 



» Posons maintenant 



Su, = /a -+- X-yr, !5V,r- -kxu-h (/-/^|ï)c; 



G, = \{lg + k'^h), 



0\ = \[-k^h + {l-k^)g'l 



» La fonction ^{u,v) devient une fonction ©(U,, V,), et l'on a 



6(U,4-i,V,) = e([J,,V, + i) = 0(U,.V,). 

 ©(U, + G,, V, -I- n.) ^ e--"' 5".+-°''-, f)(U, + II , , V, + g;) = e-^'^' 3v,-^euns,.. 



c'est-à-dire que ©(U,, V,) est une fonction thêta. D'ailleurs, on établit 

 qu'à un système (L', , V, ) correspond un seul système (m, r), et, par suite. 



