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sujet qui, au fond, a des liens intimes avec le sujet de la présente Commu- 

 nication. Je vais de nouveau m'en servir pour résoudre, avec la même 

 généralité, divers problèmes concernant certaines équations indéterminées 

 du second degré à trois termes. 



» Théorème I. — V équation («= — /})a;- — 4j" = i (ou — i) n'est pas 

 résoluble en nombres entiers, sauf le cas de a =^ ^. 



» Les indications fournies a priori par les congruences sont insuffisantes 

 pour trancher la question; il faut donc recourir à une autre méthode. J'ai 

 choisi celle qui est indiquée (au point de vue numérique) dans le n° 205 

 des Disquisitiones. On y voit que, un nombre M étant donné (celui que 

 Gauss désigne par N est nul dans le cas présent, où M = i), on doit s'as- 

 surer d'abord si la forme proposée /= | (a" — 4), o, — 4| (dont le déter- 

 minant positif est D = ^a^ — i6) est, ou n'est p:is proprement équivalente à 

 la forme 9 = | di i, o, zp (4 a-' — i6) |; car si cette équivalence n'existe pas, 

 ni l'une, ni l'autre des équations en x-, y^, qui s'y rapportent, n'est réso- 

 luble. Pour décider ce point, il faut (Disq., n° 195) écrire la période de la 

 forme/, d'après le procédé du n° 188 et dans les conditions requises par le 

 n° 183, § 1"', et constater si l'une ou l'autre des deux formes 9 fait partie, 

 ou non, des formes réduites contiguës dont cette période se compose. 



» Appliquant ce procédé au nombre indéterminé a- — 4, dont la valeur 

 numérique dépend de celle qu'on attribuera à la lettre a, et remarquant 

 que si l'équation proposée est résoluble, elle ne peut l'être que pour des 

 valeurs impaires de a, on obtient aisément ces trois premiers termes de 

 la période dey": 



|a=- 4,0, — 4| — 4, 2(a— t), ia — b\i.a — 5, i{a — 4), — 16|, 



qui conviennent à toutes les valeurs de a, sauf a = 3 et a = 5, ainsi qu'on 

 le verra ci-après. 



» Arrivé à ce point, on rencontre une difficulté, née de l'apparition, 

 dans le troisième terme de la troisième réduite, du terme numérique iG, 

 sans aucune adjonction de l'indéterminée a. Pour lu lever, il faut avoir 

 égard à la qualité du nombre impair a, selon qu'il est de l'une des formes 

 4n — I, ou 4« -+- I- Ces deux cas veulent être examinés séparément. 



» Premier cas : a = ^n — i. — Pour déterminer la valeur z du terme 

 moyen de la quatrième réduite, il faut poser 



z -+- i{a — 4) = 16^, 

 car, d'après la règle du n° 183, la somme de ce terme z et du terme moyen 



