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i(a — 4) de la réduite précédente doit être un certain multiple t du troi- 

 sième terme i6 de celle-ci, ce terme étant pris en valeur absolue, sans 

 égard à son signe. Si l'on y écrit l\n. — i au lieu de a, l'équation ci-dessus 

 devient 



z=. i6/-(8«- 2) + 8 



et l'on satisfait aux conditions requises, savoir que :■ soit positif et compris 

 entre \/D et \ID — 16, dès que «est plus grand que 2, en prenant / =« — i , 

 d'où l'on tire 



s = 2(rt — 2) 



et, pour le dernier terme de cette quatrième réduite. 



D — 2 ( rt — 2 ) 



-^ — = a — 2. 



(6 



La période se continue alors ainsi 



|— iG, 2(« -i),a — i\a— 1, -i^a — 'i), — 16| — 16, i(^a — ^),ia — 5] 

 I 2a - 5, 2 (a — i), - 4 I — 4. o, a- — 4 1. 



M Elle commence donc à revenir sur ses pas après la quatrième réduite et 

 se reproduit de nouveau, à la neuvième, en débutant parla forme initiale 

 I rt- — 4' O' "Ali sans qu'aucune des deux formes | =h i, o, zp (4»' — 4) | 

 se soit présentée. On en conclut que la représentation du nombre 4- i , 

 ou du nombre — i, par l'une ou l'autre des deux formes 



i± >- — 4), o, H=4| 



est impossible, et que l'équation en x- ety- l'est elle-même pour les valeurs 

 impaires de a qui ont la forme 4^* — i • 



» Toutefois, il y a exception pour a ^ 3; car la deuxième réduite deve- 

 nant alors I — 4» 4. I I' la troisième est | i , o, — 20 [, où 20 est le détermi- 

 nant D <le la forme | 5, o, — 4 |- L'équation proposée est, dans ce cas parti- 

 culier, 5a;^ — [\y- ^ i , du type (a -1- i)a;^ — ay- =^ i, toujours résoluble, 

 comme je le montrerai ci-après. 



» Deuxième cas : a =^ !\n -\- \ . — Les trois premières réduites de la 

 période sont identiques à celles du premier cas; mais il n'en est pas de 

 même des suivantes, ni comme nombre, ni comme valeur. 



» Raisonnant comme plus haut, il faut, pour trouver le terme moyen :; 

 de la quatrième réduite, poser 



5 -t- 2 (rt — 4) = 16^ 



