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» La remarque dont il s'agit consiste dans l'égalité entre le ternie moyen 

 et le troisième terme de la deuxième réduite. La conséquence à en tirer, et 

 qui serait la même si le terme moyen était un multiple du troisième, ou en- 

 core si les deux termes extrêmes étaient identiques, c'est que la troisième 

 réduite sera l'associée (' ) de la seconde, et ainsi de suite, en sorte qu'au- 

 cune des deux réduites | zh i , o, — D | ne peut plus se présenter dans la pé- 

 riode, et qu'ainsi l'impossibilité de l'équation proposée se manifeste dès 

 lors, sans qu'il soit besoin de pousser le calcul au delà de la réduite où se 

 produit l'un quelconque de ces trois incidents. 



» Passant à la solution de quelques équations quadratiques ayant pour 

 second membre +i ou — i, je commencerai par rappeler les formules 

 du n" 205 des Disquisitiones, en les accommodant au cas où l'équation pro- 

 posée n'a pas de terme en ay. Les valeurs générales de a; et y sont alors 



(i) œ = 7j. — yC«, y = vt -h oi\u. 



La forme donnée étant | A, o, — C | et D = -f- AC, a. et y sont respective- 

 ment le premier et le troisième des quatre coefficients de substitution a, [3, 

 y, S qui, à l'aide des binômes x =^ a.x' -+- <^y' , y =: ya;' -i- ty' , font passer de 

 la forme | A, o, — C | à la forme | ± i , o, — -D | ; Z et m sont les racines qui 

 satisfont indéfiniment à l'équation t- — D«- = i, toujours résoluble ; leurs 

 moindres valeurs t,, Uf (après / = i , « = o), d'où découlent, par des formules 

 connues, leurs valeurs générales, sont (n° 198) égales à ;7(a«-f-S„) 



et ^) respectivement, a„, y„ et §„ étant fournies par le Tableau des substi- 



tutions du n° 188 ; l'indice n est le numéro d'ordre de la n -h i " réduite, 

 en affectant l'indice i à la réduite f, qui suit immédiatement la forme 

 initiale /. 



» Ces préliminaires étant rappelés, j'aborde les problèmes ci-après, en 

 commençant par le plus simple de tous et réservant pour lui les explica- 

 tions de détail, afin de moins compliquer l'écriture. 



» Problème L — Résoudre algébriquement l'équation (a-\- i)x-^ — ay- = i 

 (a étant un entier positif). 



» 11 faut, d'après ce qui a été dit plus haut, établir (par l'algorithme 

 du n" 188 des Disq.), le Tableau de la première période de la forme 



C) Gauss appelle réduites associées celles qui se composent des mêmes termes 

 rangés dans un ordre Inverse. 



