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exactement la nature de cette fonction? Je me propose d'indiquer, dans la 

 présente Note, un théorème qui résout complètement celte question, en 

 même temps que d'autres questions d'ime nature un peu dilïérente ; en 

 particulier, nous délerniinerons- toutes les fonctions discontinues susceptibles 

 d'être représentées par des séries de fonctions continues. 



» 1. Je pose d'abord quelques définitions. Une fonction de t étant 

 donnée, je prends, dans l'intervalle de A'ariation de t, un ensemble parfait 

 E [E = E']. Soit A(^ = t„) un point de E; dans l'intervalle (/,, — oc, ?„ -l- a), 

 si petit que soit a, se trouvent des points de E ; les valeurs de la fonction 

 en ces points ont un maximum et un minimum qui, lorsque a tend vers o, 

 tendent vers des limites M et m; j'appelle w = M — /« V oscillation en A de 

 la fonction par rapport à l'ensemble parfait E. Si oi =^ o, la fonction sera 

 dite continue en A par rapport à l'ensemble E. 



» Cela posé, il n'y a que trois cas possibles : 



» 1° On a, en tout point de E, to = o ; la fonction sera dite alors continue 

 relativement à l'ensemble E; 



« 2° Dans tout intervalle oc^, contenant à son intérieur des points de E, 

 il y a des points de E pour lesquels im =. o; la fonction sera dite ponctuelle- 

 ment discontinue relativement à E; 



» 3° Il existe un intervalle ooP qui contient des points de E à son inté- 

 rieur, mais qui n'en contient aucun pour lequel w = o; la fonction sera 

 dite totalement discontinue relativement à E. 



» Ces principes étant posés, on a le théorème suivant : 



» Soit une fonction de x et y, continue en tout point par rapport à y, et telle 

 que, entre deux droites parallèles à Ox, y^za., y=p(7. <^P), existe 

 toujours une droite j)/' = y (a <^ y <;] j3) sur laquelle la fonction est continue par 

 rapport à x. On prend une courbe continue et sur cette courbe un ensemble 

 parfait E. La fonction, relativement à E, est ponctuellement discontinue. 



M Un cas particulier, oii cette proposition s'applique, est celui que j'ai 

 rappelé plus haut, à savoir le cas où l'on suppose la continuité en tout 

 point par rapport à chacune des variables. 



» Indiquons un autre cas intéressant. Soit une fonctiony (a;, y) continue 

 par rapport à l'ensemble x,y partout, sauf sur Ox, où elle est seulement 

 continue par rapport à y. Le théorème s'applique à la fonction discontinue 

 . f(x,o). Plus généralement, si l'on a une fonction continue par rapport 

 à l'ensemble (x,y) à Vintérieur d'une aire A limitée par un contour C, et si, 

 en chaque point de C, il y a continuité suivant la normale, le théorème s'ap- 

 plique à la fonction ainsi définie sur le contour C. 



