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» Reprenons le cas où les discontinuités n'ont lieu que sur Ox, et pre- 

 nons une suite de quantités >',, y., ..., ,v,„ . . . tendant vers o; on voit 

 que la/onction discontinue /(.t , o) est la limite rie la suite de fonctions conti- 

 nues /(-r, y,), f{x,Y^), . . . , f{x,y„) ou, ce qui revient au même, la 



somme de la série de fonctions continues 



convergente pour toute valeur de x. 



» On peut, en partant de là, établir le théorème suivant : 

 » 5/ une série, dont les termes sont des fonctions continues de x, est conver- 

 gente pour chaque valeur de x, elle représente une fonction qui est ponctuel- 

 lement discontinue relativement à tout ensemble parfait. 



» n. Réciproquement, si une fonction f{x) est ponctuellement discon- 

 tinue relativement à tout ensemble parfait, il existe une suite de fonctions 



continues /,(a7), /2(a;) f„(x),..., qui, pour chaque valeur a-,, de a;, 



tend vers /(ic,,). Autrement dit, la fonction est représentable par une 

 série convergente 



u,(x) + u.^(x) -h . . . + u„(x) -h . . . , 



les u étant des fonctions continues. D'ailleurs, on peut remplacer cette 

 série par une autre dans laquelle les termes sont tous des polynômes, 

 de sorte que nous avons ainsi déterminé la condition nécessaire et sufïsanle 

 pour quune fonction d'une variable réelle soit développable en série de 

 polynômes. 



» III. Pour démontrer celte réciproque, j'emploie une méthode fondée 

 sur la considération des ensembles; cette méthode fournit en outre une 

 nouvelle forme de la condition précédente, et un moyen de décider si 

 une fonction donnée est représentable ou non par une série de fonctions 

 continues. J'indique brièvement ici les définitions qui me sont nécessaires. 



)) Soit r, un nombre positif quelconque. J'appelle P l'ensemble des 

 points où l'oscillation de la fonction /(a;) est ^g. Je forme, s'il y a lieu, 

 P^ {Q. est le premier nombre transfini de la troisième classe); on sait 

 que P" est parfait. Soit P, l'ensemble des points de P*^ où l'oscillation par 

 rapport à P^ est ^c (si P^= o, je poserai P, = o). Soit de même P^ l'en- 

 semble des points de P^ où l'oscillation par rapport à Pf est ^ c. 



» On définit ainsi P,, P^, . . ., P„ Si l'opération ne se termine pas, 



