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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Théorème fondamental sur les transformations 

 birat'tonnelles à coefficients entiers. Noie de M. S. Kantor, présentée par 

 M. E. Picard. 



« Tandis que la théorie des substitutions linéaires à coefficients entiers 

 naturels ou à coefficients entiers algébriques a, grâce aux travaux de 

 MM. Picard et Poincaré ('), acquis déjà une étendue considérable et em- 

 piète sur des branches différentes de l'Analyse, la théorie des substitutions 

 de degré supérieur et à coefficients entiers est à peine effleurée. Un cas 

 de substitutions quadratiques a été seulement rencontré par M. Picard (-) 

 dans ses recherches fondamentales sur les groupes hyperabéliens. Cela 

 tient à ce que, dans la théorie des formes arithmétiques de degré supérieur 

 à deux ou d'un nombre de variables plus élevé que trois, on connaît seu- 

 lement les résultats anciens de M. Hermite (^), les recherches de 

 M. Poincaré sur les formes cubiques ternaires et quaternaires (^), et un 

 théorème de MM. Hilbert etHurwilzsur les formes arithmétiques ternaires 

 du genre zéro {^). 



» Si dans les formules de transformation 



(i) x\:...: a;;^, =^,{x):...: <ï>^^, {x'), 



les 4> étant des fonctions entières rationnelles des variables homogènes x, 

 les coefficients de ces fonctions <!> sont des nombres entiers, pour le 

 moment naturels, j'appelle la transformation (i) ua& transformation arith- 

 méliqiie. Parmi les transformations (i) il y en a dont les inverses sont 

 rationnelles encore. Cela exige que les coefficients des fonctions <ï> qui 

 interviennent dans l'inverse 



(2) ^, : ... : xr^, = ^\{x)\...: <i«;.^, (0,^') 



soient des nombres rationnels ou, en se servant d'un facteur de propor- 

 tionnalité, des nombres entiers. Alors (i) est une transformation bira- 

 tionnelle arithmétique. 



(') Le même sujet a fait aussi l'objet des recherches de M. L. Bianchi. 



(^) \oïr Journal de Liouville, i885. 



(^) Journal de Crelle, Vol. 42 et kl. 



(') Journal de l^ École Polyt., Cah. L et Ll. 



C*) Ac ta Math., Vol. XIV. 



