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» Or, on sait que les transformations birationnelles du domaine ternaire 

 peuvent être décomposées en des transformations élémentaires de même 

 espèce et précisément, d'après Nodier, quadratiques. Pour les transfor- 

 mations birationnelles arithmétiques le théorème de Notherya^V défaut ( ' ). 

 En effet, parmi ces transformations, il y en a où les coordonnées des 

 points fondamentaux à multiplicité égale sont données simultanément par 

 des équations à coefficients entiers, à savoir quand ils sont points d'inter- 

 section résiduels de deux courbes à coefficients entiers. Dans chaque 

 pareil cas les transformations quadratiques de Nôther ne peuvent pas 

 s'appliquer ni être obtenues, sans qu'on décompose des polynômes à 

 coefficients entiers en facteurs. Alors des irrationnalités nouvelles s'in- 

 troduisent et les transformations quadratiques n'ont plus leurs coefficients 

 entiers dans le domaine proposé ou dans le domaine naturel. 



» Toutefois je peux démontrer qu'aussi dans ce cas les transformations 

 admettent la décomposition en facteurs arithmétiques typiques d'une na- 

 ture prédéterminée. 11 semble important que le nombre des classes, 

 entre lesquelles les facteurs typiques des transformations birationnelles 

 arithmétiques sont à choisir, reste encore fini. Le théorème de Nôther 

 doit donc être remplacé par un théorème de décomposition plus com- 

 pliqué. Voici ce que j'ai trouvé : 



» Théorème. — Chaque transformation birationnelle arithmétique à trois 

 variables homogènes peut être composée au moyen de facteurs primaires arith- 

 métiques d'un des types suivants : 



» 1° Transformations de l'ordre n à point multiple d'ordre (ii — i"), où 

 tous /es points fondamentaux simples forment un seul groupe rationnel (*); 



» 2° Transformations de l'ordre n à point multiple d'ordre (n— i), où tous 

 les points fondamentaux simples sauf un forment un seul groupe rationnel; 



(') De même le théorème de Nôlher n'existe plus, si l'on veut décomposer une 

 transformation birationnelle algébrique, sans introduire de nouvelles irrationnalités 

 par rapport au domaine d'irralionnalité qui est formé par les coefficients des *. 

 Le théorème qui suit dans le texte s'applique sans altération. On peut donc énoncer : 

 Toute transformation birationnelle peut être décomposée en tes facteurs primaires 

 du tliéorème fondamental, sans introduire aucune irrationnalité nouvelle. 



(2) Je dis que m points forment un groupe rationnel, si leurs coordonnées sont 

 fournies par une équalion à coefficients qui sont rationnels dans le domaine de ra- 

 tionnalité proposé et dont le polynôme n'est pas décomposable en des facteurs ra- 

 tionnels dans ce domaine. Dans le cas actuel le domaine de ralionnalité est celui des 

 nombres entiers naturels et les coefficients doivent être des nombres rationnels. 

 C. B., 189S, 1" Semestre. (T. CXXVl, N» 13.) 122 



