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)' 3° Transformations de r ordre n à quatre points multiples d'ordre 



et — -points doubles, où les uns et les autres forment un seul groupe ra- 

 tionnel, ou bien 



» 4" Où les quatre premiers se séparent en deux couples rationnels ; 



» 5° Transformations quadratiques, dont les trois points fondamentaux 

 forment un seul groupe rationnel; 



» 6° Transformations de l'ordre 5 à 6 points doubles qui forment un seul 

 groupe rationnel; 



» 7° Transformations de l'ordre 'è à j points doubles qui forment un seul 

 groupe rationnel, ou bien 



» 8" Où les 7 points se séparent en un couple rationnel et un quintuplet ra- 

 tionnel; 



» 9° Transformations de l 'ordre 1 3 à 2 points sextuples et 6 points qua- 

 druples les uns et les autres formant un groupe rationnel, ou bien 



» io° Où les six derniers se séparent en deux triplets rationnels ; 



» II" Transformations de l'ordre i6 à 5 points sextuples et 3 points 

 quintuples les uns et les autres formant un groupe rationnel; 



» 12" Transformations de l'ordre 17 à 8 points sextuples qui forment un 

 seul groupe rationnel; 



» x3° Transformations de l'ordre 25 à 2 points 12-tuples, 3 octuples et 

 [\ sextuples chaque fois d'un seul groupe rationnel; 



» i4° Transformations de l'ordre 29 à 2 points 1^4-tuples, 7 octuples et 

 les uns et les autres formant un seul groupe rationnel; 



» i5° Transformations de l'ordre [^l à ^ points i6-tuples, 4 décatuples 

 qui forment respectivement un seul groupe rationnel; 



» 16° Transformations de l'ordre 61 à 2 points 10-tuples, 3 points 

 20-tuples et 4 points i ^.-tapies ne formant que trois groupes rationnels. 



» Dans ce théorème les fadeurs primaires sont déterminés par espèce, par 

 ordre et par la position mutuelle des points fondamentaux. 



» D'autre part, les transformations birationnelles arithmétiques sont 

 (lécomposables, elles aussi, en des facteurs quadratiques. Mais cette dé- 

 composition comporte des irrationnalités. Le théorème fondamental que 

 nous avons découvert permet donc de préciser quelles sont les irrationna- 

 lités qui s'introduisent dans cette décomposition ancienne. Les coor- 

 données des points fondamentaux seront généralement des racines de 

 polynômes d'un certain ordre et l'on remarque que l'ordre ne surpasse le 

 nombre 8 que dans les types des espèces 1°, 2°, 3" et 4°- 



