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» Les coefficients qui s'introduisent sont donc des nombres entiers algé- 

 briques d'un certain corps de Dedekind ('); donc : 



» Théorème. — Pour décomposer une transformationhirationneUe arithmé- 

 tique ternaire en des transformations quadratiques, il ne faut adjoindre au 

 domaine de rationnalitè que des nombres entiers algébriques de corps des 

 ordres 2 jusqu'à 8, excepté seulement pour les transformations qui contiennent 

 des facteurs primaires de Jonquiéres (ère comprenant par ce nom les espèces 

 1°, 2", 3° et 4") et qui peuvent exiger des corps d'un degré quelconque. 



» Il ne reste donc qu'à rechercher les transformations primaires des 

 espèces 1° à 16" qui ont les coefficients entiers. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur certaines équations fonctionnelles linéaires. 



Note de M. Lêmeray. 



« Dans une Communication faite à l'Académie le 27 décembre 1897, 

 j'ai résolu l'équation 



(i) ;= Aoj"' + A,y"-<) + ...4-A„_,j' + A„5; = o, 



où j est la fonction inconnue de x, dans le cas où les A sont constants. Je 

 rappelle que y''' est l'itérative d'ordre i de la fonction cherchée (on a 

 yC) = x\ Je considère ici le cas où les A sont fonctions de x seul. On peut 

 établir une théorie du plus grand commun diviseur symbolique de plu- 

 sieurs polynômes fonctionnels linéaires tels que celui qui constitue le se- 

 cond membre de l'équation (i). Je suis arrivé aux résultais suivants : 



» 1° On peut former une équation d'ordre n admettant n solutions don- 

 nées y,, y^ y„; à l'équation (t) joignons les n équations obtenues en 



affectant dans(i) lesj, des indices 1,2, ..., n, tour à tour. Soit A le déter- 

 minant d'ordre « -t- i des coefficients des A dans les seconds membres; 



on a 



A, ^ / dx \.( dx\ ( = )_ 

 Aj, \dy<"-'>J ' \dy^"i) 



» 1° Il existe une équation fonctionnelle linéaire d'ordre n -\- p, 



J/'( = ) = o, 



(') Bulletin des Sciences mathématiques, de Dardoux et Houel, 1877, ou ses 

 Leçons, par Lejeune-Dirichlet. 



(^) Je dirai que les n intégrales sont distinctes si aucun des A n'est indéterminé. 



