( loo ) 

 )) m. Relations de Jacobi entre les P,y. — En différentiant la formule (6), 

 où Ro est remplacé par l'expression (5), relativement à x el y, on trouve 



(lo) 

 d'où 



aa'iJ.smx[a- -+- a'- — 2aa'[x cosx — 2aa'vcosj)~^ 

 = 22iP, sin ix -h 42iP,-,ysin ixcosjj^ 



aa'v sinj(rt- + a'- — 2aa'ixcosx — zaa'v cosj)~ ^ 

 = 2lj]?(,jSwjj + /il]' P j / cosix s'm jj-, 



vs\nj-[2iPi_f, sinix + 2li]? /jsmix cosjj) 

 = lis\nx{IjVgjs\njy -{- ^IjPijCosixs'wjj). 



Si, dans cette équation, on égale à zéro le coefficient de sinz,rsinyj, il 

 vient 



(' î^'(P/,/-. - P/.yv.)= p-;(P.-.,/ - P/^.j) • 



Cette équation a toujours lieu, quelles que soient les valeurs, nulles ou 

 positives, des indices i etj, pourvu qu'on prenne toujours 



F = P- ■== P — P . ■ 



» On peut ensuite écrire la première équation (lo) comme il suit : 



flfi'p.sin j:(P(,_o -1- 22P,^o cosix -+- ziv^jcosj'j + 42?/,/ cos/x cosy/) 

 = (n^ -t- a'- — 2ciàiJ. cosa; — zaa'v cosj>) 

 X (22/P,_o sin/,r -{- 42fP,j ûwix cosjj). 



» En égalant de part et d'autre les coefficients de sin ix cosj'y, il vient, 

 après quelques réductions, 



I {li-hl) p.Pi^,j + (2i - l) /J.P,'_,,y, 



» En portant dans cette équation la valeur de P/,y+i ou celle de P,,/-,, 

 tirée de l'équation (11), on trouve les équations (l'i) et (i4); si l'on opère 

 de même, en partant de la deuxième équation (10), on trouve les for- 

 mules (i5) et (16) : 



(i3) 

 (•4) 



p. {21 + 2/ + 1) P,,.,,,- 4- f-t (2/ - 2/ - l) P,_,,y 



=^2-^^^iP,,y-4wP,,/_M 

 [X ( 2 « - 2/ + , ) P,^, y + p. (2 f + 2/ - l) P,-_ , ,y 



^^-^''P'.y~4viP,-,,+,, 



