( "7 ) 



» On peut d'abord changer de variable en posant x --J-[z), puis, cette 

 substitution effectuée, changer d'inconnue en posant^ =; Y[z)u. Les di- 

 verses transformées que l'on obtient ainsi, en donnant aux fonctionsy(2) 

 et V(z) toutes les formes possibles, peuvent être considérées comme ap- 

 partenant à une même classe. 



1) Ainsi, toutes les équations différentielles de second ordre ne forment 

 qu'une seule classe et sont toutes réductibles à un type unique, par 



d'Y 



exemple à l'équation -'_., = o; mais l'on ne sait pas, au moyen de simples 

 quadratures, opérer effectivement cette réduction, ni, deux équations du 

 second ordre étant données, trouver les transformations qui pernietlent 

 de passer de l'une à l'autre. 



» 2. Des circonstances entièrement différentes se présentent dans la 

 théorie des équations différentielles linéaires du troisième ordre. 



» Considérons l'équation 



et supposons que, après avoir fait successivement les transformations 



x=f{z) el j =zN[z)ii^ elle devienne 



(2) — 4-3P„— + 3Qo— -f-Ro/i = o. 



» Je considérerai d'abord les expressions e •'^'■''' et e-"""'', introduites 

 par M. Liouville dans l'étude des équations linéaires; on voit facilement 

 que l'on a identiquement 



lijt: 



'- — *- V ' 



la fonction e-^'"''" constitue donc, relativement à l'équation (i), un véri- 

 table invariant qui, après les transformations, se reproduit à un facteur 

 près dépendant uniquement des transformations opérées. 



•n 3. On obtient un second invariant de l'équation (i) gn considérant la 

 fonction 



I = 4P^ + bP - + — - bPQ _ 3 -^ ^ .R; 

 si, en effet, on forme, relativement à l'équation (2), la fonction semblable 



i„ = 4P- + ePo'îl" + 5 - OP„Q„ - 3^ + 2i:„ 



