(r.8) 

 on a l'identité 



I est donc encore un invariant de l'équation (i) qui ne change pas de 

 valeur lorsqu'on change l'inconnue. 



)' En combinant entre eux les deux invariants précédents, je considé- 

 rerai encore l'invariant J — g'^''''' I qui donne lieu à la relation 



(4) Jo = JV (z) 



et qui, on le voit, ne change pas de valeur quand on change de variable. 

 » 4. Proposons-nous maintenant de reconnaître si deux équations don- 

 nées (i) et (2) appartiennent à la même classe. Si cela a lieu, en intégrant 

 l'équation (3), on aura 



a?=y>-, a), 



« désignant une constante arbitraire; cette valeur, portée dans la rela- 

 tion (4), déterminera V(:), et, si les équations appartiennent effectivement 

 à la même classe, on devra pouvoir disposer de l'arbitraire a de telle sorte 

 que, par les transformations indiquées, l'équation (2) résulte de l'équa- 

 tion (i). 



» 5. Toutes les équations du troisième ordre peuvent, en effectuant de 

 simples quadratures, se ramener à une forme léduite ne renfermant qu'une 

 fonction arbitraire. Si, en effet, on intègre l'équation (3) en y faisant I„=i, 

 on en déduit une transformation telle que l'invariant I de la transformée 

 est égal à l'unité; de même, en faisant Jo = i, on déduit de l'équation (4) 

 une nouvelle transformation telle que la transformée manque du coefficient 

 du second terme, son invariant I demeurant d'ailleurs égal à l'unité. 



» Cette transformée sera donc de la forme 



£ + -F(^-)£ + [F'(^)+i]"-o. 

 » Si l'on considère une autre équation sous sa forme réduite 



il est clair que ces deux équations appartiendront à la même classe si, en 

 déterminant convenablement une constante iz, on a identiquement 



